Ist die Folge (an):N--R mit a0=3 und an+1=an/2 +1 monoton, beschränkt, Grenzwert?

Question

wir betrachten die rekursiv definierte folge (an):N--R,die durch a0=3 und an+1=an/2 +1 gegeben ist.
1.ist die folge monoton???
2.ist die folge beschränkt???wenn ja, geben sie eine obere und eine untere schranke an!
3.berechen sie den grenzwert der folge (an)

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Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/85215/ist-die-folge-an-mit-a0-und-an-an-monoton-beschrankt-grenzwert

Answer 1

(1)  Zeige per Induktion über  n, dass die Folge nach unten durch  2  beschränkt ist.
Induktionsanfang: Klar für  n = 0.
Induktionsvoraussetzung: Es gebe ein  n  mit  a_n > 2.
Induktionsschritt: Zeige, dass die Aussage für  n + 1  gilt.
Nach Definition und Induktionsvoraussetzung ist
a_n+1 - 2 = a_n/2 +1 - 2 = (a_n - 2)/2 > 0.
Daraus folgt  a_n+1 > 2.

(2)  Zeige, dass die Folge monoton fällt.
Nach (1) gilt  a_n+1 - a_n = a_n/2 + 1 - a_n = (2 - a_n)/2 < 0.
Daraus folgt  a_n+1 < a_n.

(3)  Aus (2) folgt, dass die Folge durch  a₀  nach oben beschränkt ist.

(4)  Die Konvergenz der Folge folgt aus (1) und (2). Für den Grenzwert  c  gilt
\(c=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}\), also \(c=\frac12c+1\). Daraus folgt \(c=2\).
 

Comments

eine frage habe ich zu der aufgabe eins. wieso nehmen wir den wert 2???

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Rechne ein paar Werte aus, so kommst du zur Vermutung.

Oder löse a=a/2 + 1 nach a auf (Bei Konvergenz gilt irgendwann praktisch a_n+1 = a_n = a)

a/2 = 1

a=2