Integration durch Substitution: e^{-x}/(1+e^{-x})^2

Question

e^{-x}/(1+e^{-x})^2 durch t=exp(-x)

Comments

vielen dank euch beiden!!! ich gebe mein bestes um die schritte nachzuvollziehen =)

Answer 1

Hi,

mit \(t = e^{-x}\) und folglich \(dt = -e^{-x}\; dx\)


$$-\int \frac{1}{(t+1)^2}\; dt = \frac{1}{t+1} + c$$


Resubstitution:

$$\frac{1}{e^{-x}+1} + c $$

Und das eventuell noch schöner geschrieben durch erweitern mit \(e^{x}\)

$$\frac{e^x}{1+e^x} + c$$


Grüße

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Ich komme auf dasselbe, aber Wolfram-alpha nicht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e^%28-x%29%2F%281%2Be^%28-x%29%29^2


Verrechnet sich Wolfram-Alpha oder habe ich etwas übersehen?

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Der Unterschied ist c=(-1)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-1%2F%281%2Be%5Ex%29+%3D+e%5Ex%2F%281%2Be%5Ex%29+%2B+c

Daher vernachlässigbar.

Answer 2

Fuer y= exp(-x) ist dy=(dy/dx) dx = -exp(-x)dx ⇔ dx= 1/y dy

Dies im Integral Einsetzen liefert: ∫ 1/(1+y) dy ( das y im Zaehler kuerzt sich mit dem 1/y das du von dx bekommst)

∫ 1/(1+y) dy= ln |1+y| = ln|1+exp(-x)| 

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Vorsicht, da ist noch en Quadrat im Nenner ;).