Aloha :)
Wir schreiben die Funktion mit Hilfe von Summen:$$f(\vec x)=\vec x^T\mathbf A\vec x=\sum\limits_{i=1}^3x_i(\mathbf A\vec x)_i=\sum\limits_{i=1}^3x_i\left(\sum\limits_{k=1}^3A_{ik}x_k\right)=\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{k=1}^3A_{ik}x_ix_k$$
Die partielle Ableitung nach \(x_\ell\) ist daher:$$\frac{\partial f}{\partial x_\ell}=\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\left(A_{ik}\delta_{i\ell}x_k+A_{ik}x_i\delta_{k\ell}\right)=\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{k=1}^3A_{ik}\delta_{i\ell}x_k+\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{k=1}^3A_{ik}x_i\delta_{k\ell}$$$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial x_\ell}}=\sum\limits_{k=1}^3A_{\ell k}x_k+\sum\limits_{i=1}^3A_{i\ell}x_i=\sum\limits_{k=1}^3A_{\ell k}x_k+\sum\limits_{i=1}^3A^T_{\ell i}x_i=(\mathbf A\vec x)_\ell+(\mathbf A^T\vec x)_\ell$$Damit haben wir auch schon den Gradienten:$$\operatorname{grad}f(\vec x)=\mathbf A\vec x+\mathbf A^T\vec x$$
und können die gewünschte Richtungsbaleitung angeben:$$D_{\vec v}(f(\vec y))=\operatorname{grad}f(\vec y)\cdot\vec v=\left[\mathbf A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathbf A^T\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=2\mathbf A+2\mathbf A^T$$
