Reihe (1/(5^n))+e^(-n) Wert bestimmen

Question

Aufgabe:

Berechne den Wert der folgenden Reihe:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5^{n}}+e^{-n}\right) \)

Ich komme mit dem e in der Reihe nicht klar... ich weiß aber, dass die Summanden als seperate Reihen betrachtet und dann addiert werden können.

Answer 1

Aloha :)

Ausgehend von der Summenformel für die geometrische Reihe:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{für}\quad|q|<1$$ist klar, dass:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{5^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{5}\right)^n-1=\frac{1}{1-\frac{1}{5}}-1=\frac{1}{\frac{4}{5}}-1=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}$$$$\sum\limits_{n=1}^\infty e^{-n}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{e}\right)^n-1=\frac{1}{1-\frac{1}{e}}-1=\frac{e}{e-1}-\frac{e-1}{e-1}=\frac{1}{e-1}$$Damit ist:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{5^n}+e^{-n}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{e-1}=\frac{e+3}{4(e-1)}$$

Comments

Das leuchtet ein....ich hätte nicht gedacht, dass man mit beiden Summanden so gleich Verfahren kann...vielen Dank!

Answer 2

\(\begin{aligned}&\,\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5^{n}}+e^{-n}\right)\\=&\,\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n}}+\sum\limits _{n=1}^{\infty}e^{-n}\\=&\,\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}+\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)^{n}\end{aligned}\)

Das sind zwei geometrische Reihen. Für die gibt's 'ne Formel.