Durch Rotation des Schaubildes der Funktion f um die y-Achse entsteht ein Rotationskörper

Question

Hey Hey :)

Hab diese alte Prüfungsaufgabe gefunden zu der ich keine Lösung gefunden habe... Wäre nice wenn mir jemand dabei helfen könnte :)

LG Chris

Comments

Bis du dir sicher das der Körper um die y-Achse rotieren soll.
Davon steht im Text nichts.
Mir sieht das eher nach Rotation um die
x Achse aus.

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Ich weiß nicht genau wollte die Aufgabe nur zur Prüfungsvorbereitung lösen...

Ich denke mal es soll schon die y-Achse sein, wenn es so in der Prüfung da steht :D

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@Georg

Es steht in der ersten Zeile.

:-)

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Hallo Monty,

stimmt zur Hälfte.
Wenn ich auf Bild " vergrößern " klicke
wird bei mir die oberste Zeile
nicht dargestellt.

mfg Georg

And now something completely different
( so hart an der Grenze zum guten Geschmack )

es ist das Jahr 68. Es gärte unter den jungen Leuten. Nicht nur in Deutschland, sondern auch in Frankreich. Auch unter den Intellektuellen. So wurden Stücke von Sartre nicht nur im Theater, sondern auch in ehemaligen Fabrikhallen oder Büros aufgeführt.

Ein Angestellter will nach Dienstschluß eine solche Veranstaltung besuchen und kommt reichlich spät dort an. Er gibt seine Klamotten an der Garderobe ab, betritt den fast dunklen Zuschauerraum und setzt sich auf einen freien Platz. Auch die Bühne ist noch im Halbdunkel. Offensichtlich hat die Aufführung noch nicht be-gonnen.

Der Angestellte verspürt jetzt einen Harndrang und will doch einmal die Toilette aufsuchen. Er verläßt den Zuschauerraum. An der Garderobe ist niemand mehr den er nach dem Ort der Toilette fragen könnte. Er zwängt sich an den aufgehängten Kleidungsstücken vorbei, öffnet eine Tür, tastet sich durch halbdunkle Gänge, öffnet eine Tür und schaut in einen relativ dunklen Raum.

In dem Raum steht auf einem kleinen Tisch ein Vase. Er beschließt diese Vase für seine Zwecke zu nutzen. Nachdem er sich erleichtert hat, geht er wieder durch die Gänge zurück, drückt sich in der Garderobe an den Kleidungsstücken vorbei, betritt den Zuschauerraum und setzt sich wieder auf seinen Platz.

Da sich auf der Bühne nichts tut, fragt er seinen Nachbarn ob den schon etwas losgewesen sei. " Och " sagt dieser " bisher ein typischer Sartre. Ein Mann kam auf die Bühne, pinkelte in eine Vase und ging dann wieder raus ".

Answer 1

Aloha :)

Wir rotieren die Funktion$$f(x)=\frac{x^2}{20}\quad;\quad x\in[0\big|b]$$um die \(y\)-Achse. Das heißt, wir addieren Kreisflächen mit Radius \(x\) bzw. Fläche \(\pi x^2\) entlang der \(y\)-Achse:$$V=\int\limits_{f(0)}^{f(b)}\pi x^2\,dy=\int\limits_0^b \pi x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\int\limits_0^b\pi x^2\frac{x}{10}\,dx=\frac{\pi}{10}\int\limits_0^bx^3\,dx=\frac{\pi}{40}\,b^4$$

Das \(b\) ist so zu wählen, dass das Volumen gleich \(10\pi\) ist:$$10\pi\stackrel!=V=\frac{\pi}{40}\,b^4\implies b^4=\frac{400\pi}{\pi}\implies b^2=20\implies b=\sqrt{20}$$

Die Höhe ist dann:$$h=f(b)=\frac{b^2}{20}=\frac{20}{20}=1$$

Comments

Warum gehst du den komplizierten (und offensichtlich fehleranfälligen) Umweg über b ?

π·₀∫^h x^2 dy =  π·₀∫^h 20y dy =  π·10h^2  =  10π  für h = 1

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Ich hatte am Ende einen Bug, weil ich \(\frac{b^2}{10}\) statt \(\frac{b^2}{20}\) geschrieben hatte. Habe ihn korrigert. Danke für den Hinweis ;)

Ich bin den Weg über \(b\) gegangen, um die Rotation um die \(y\)-Achse vorzuführen. Bei Funktionen, wo die Umkehrfunktion nicht so leicht sichtbar ist, wird dein Ansatz nämlich sehr fummelig.

Answer 2

Lasse stattdessen g(x)=\( \sqrt{20x} \) un die x-Achse rotieren:

π·\( \int\limits_{0}^{b} \) (20x) dx=10·π

aufgelöst zu:

10x² (in den Grenzen von 0 bis b) =10

b=1

Answer 3

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst

Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale,Anwendung Integralrechnung

Volumen von Rotationskörpern (Kubatur)

Rotation um die x-Achse V=pi*∫y²*dx

Rotation um die y-Achse V=pi*∫(g(y))²*dy

bei dir liegt eine Funktion vor y=f(x)=x²/20 und nicht g(y)=.... also Rotation um die x-Achse

V=pi*∫(x²/20)²*dx=pi/400*∫x^4*dx

V=pi/400*1/5*x^5+c

V(x)=pi/2000*x^5+C

V=obere Grenze minus untere Grenze=V(xo)-V(xu)  die Integrationskonstante C hebt sich bei dieser Rechnung auf.