Aloha :)
Deine Herleitung ist korrekt:$$V=\pi\int\limits_{-\frac12}^{\frac12}\frac{1}{1+4x^2}\,dx$$Du kannst vielleicht noch die Symmetrie der Grenzen ausnutzen:$$V=\pi\int\limits_{\pink0}^{\frac12}\left(\frac{1}{1+4x^2}+\pink{\frac{1}{1+4(-x)^2}}\right)dx=\pi\int\limits_0^{\frac12}\frac{2}{1+(2x)^2}\,dx$$
Das Integral selbst ist ein ganz wichtiges Standard-Integral, das du aber anscheinend nicht kennst. Um es kennen zu lernen, schauen wir uns zuerst die Ableitung der Tangens-Funktion an:$$\small\left(\tan x\right)'=\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\,\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\,\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$
Damit können wir die Ableitung von \(\arctan(a\cdot x)\) bestimmen, weil Funktion und Umkehrfunktion ihre Wirkungen für alle Argumente aus dem Definitionsbereich gegenseitig kompensieren:$$\tan(\arctan(ax))=ax$$Wenn wir beide Seiten ableiten und links die Kettenregel verwenden, erhalten wir:$$\underbrace{(1+\tan^2(\arctan(ax))}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\arctan(ax)\right)'}_{\text{innere Abl.}}=a\quad\implies$$$$(1+(ax)^2)\cdot\left(\arctan(ax)\right)'=a\quad\implies$$$$\pink{\left(\arctan(ax)\right)'=\frac{a}{1+(ax)^2}}$$Diese Ableitung bitte mekrken!!! Mindestens den Sonderfall mit \(a=1\) sollte man kennen.
Wenn man diese Ableitung kennt, ist das Integral von oben sofort klar:$$V=\pi\left[\arctan(2x)\right]_0^{1/2}=\pi\,\arctan(1)=\pi\cdot\frac\pi4=\frac{\pi^2}{4}$$
