Man untersuche das uneigentliche Integral ∫ dx/(x-1)^2 auf Konvergenz

Question

Auf Konvergenz untersuchen:

$$\int _{ 0 }^{ 2 }{ \frac { dx }{ (x-1)^ 2 }  }$$

∫ dx/(x-1)^2

Die Polstelle bei 1 hab ich. Das heißt, ich muss oben oder unten Epsilon abziehen und das dann gegen 0 laufen lassen... aber genau bekomm ich es nicht hin.

Answer 1

Damit der Spass gleich angenehmer wird mache ich eine kleine Substitution y=x-1, dann dx=dy und wir haben folgendes Integral zu untersuchen ∫_-1¹  1/y² dx zu untersuchen. so nun wie du gesagt hast fuehren wir ein ε > 0 und bilden den Limes ε→0 :

\( \int \limits_{-1}^{1} 1 / y^{2} d y=\lim \limits_{ε \rightarrow 0} \int \limits_{-1}^{0-ε} 1 / y^{2} d y+\int \limits_{0+ε}^{1} 1 / y^{2} d y \)
\( =\lim \limits_{ε \rightarrow 0}\left[-\frac{1}{y}\right]_{-1}^{0-ε}+\left[-\frac{1}{y}\right]_{0+ε}^{1} \)
\( =\lim \limits_{ε \rightarrow 0} \frac{2}{ ε }=+\infty \)

Comments

darf ich das denn einfach ich habe von 0 bis 2ohne substitution versucht.. die substitution macht das ganze wesentlich einfacher;-) das ist der tipp den ich in allen meinen aufgaben von heute suche da sie alle aus einer prüfung sind;-)vllt schaust sie dir mal durch.. sowas versteckt mein prof gerne...

vkannst du den letzten schritt etwas ausformulieren...?

wieso rechnest du dann mit dy?

vielen dank!!


kennst du dich zufällig auch damit aus:


https://www.mathelounge.de/85247/ableitung-der-umkehrfunktion-von-y-f-x-cos-x


?

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Ja du kannst es auch ohne Substitution machen, dann ist aber das schreiben viel laenger. Aus Faulheitsgruenden habe ich es halt gemacht xD.
>wieso rechnest du dann mit dy?

ich habe eine neue Variable y eingefuehrt, dann muss ich auch ueber dy integrieren( nebenbei: dy ist immer dy=(dy/dx)dx ). Das ist die Substitutionsregel.

>vkannst du den letzten schritt etwas ausformulieren...?

Limes( ε→0) 2/ε = +∞. Der Wert des Integrals ist unendlich also ist es nicht konvergent. ( meinst du das?)

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Ja ich kenne mich damit aus, aber ich muss jetzt gehen und ein Tutorium halten. Die Antwort ist einfach wenn du dabei bedenkst, dass sin^2(x)=1-cos^2(x) gilt und dass f(f ^-1(x))=x ist.

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ich hab beim ergebnis noch ein - 2... macht keinen unterschied im ergebnis da undendlich - 2 auch unendlich ist aber ich bräuchte die zwischenschritte von zeile 2- zeile 3 deiner lösung..


danke

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Kurze Frage zu dieser aufgabe.. die Substitution ist mir klar nur irgendwie versteh ich die Änderung der Integralgrenzen von 0/2 und 1/-1 nicht.

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wir haben y=x-1 gewaehlt und x laeuft von 0 bis 2 also laeuft y von 0-1=-1 bis 2-1=1

Formal:       0<x<2 ⇔ -1<x-1<1 ,da x-1=y ⇒ -1<y<1

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könnte bitte jemand dien zwischenschritt von 2 auf 3 angeben ich kürze hier irgendwas falsch... komme nicht auf den dritten schritt

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[-1/y]^-ε_-1    +    [-1/y]¹_ε = (-1)/(-ε) - (-1/-1)    +    (-1)/1 -(-1)/ε = 1/ε   -1       + ( (-1/1) + 1/ε) = 2/ε -2,

ja du hast recht da habe ich ein minus bei der ersten 1 vergessen. Das Ergebnis geht trotzdem gegen unendlich für ε gegen 0

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jetzad merci dir quarim... habs

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kannst mal die ganze aufgabe prüfen? auch auf schreibweise?

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a) zufrieden

b) da wuerde ich nach dem (x-x₀)⁴ Term "..." schreiben, weil die Reihe dort nicht aufhoert.

Um es formal "ganz richtig" zu machen muesstest du das Ergebnis noch mit Vollstaendiger induktion beweisen, ist ganz einfach.

c) hier bin ich gar nicht zufrieden: es sollte eig. a_n /a_n+1 heissen und nicht a_n/(a_n +1)  a_n+1=1/(n+1)! ≠ a_n +1 =1/n! +1

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PS: Die Reihe konvergiert immer  für alle x aus ℝ und zwar gegen exp(x). was die Funktion selber macht, ist hierbei irrelevant. Wichtig ist, dass die Reihe einen Wert/Funktionswert hat und der ist hier eindeutig, also Konvergenz.

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wie meinst des bei der b? will die richtige antwort quasi so kurz wie möglich.oh je schaust du dir meine anderen beiträge an? weil bei der b waren andere einverstanden...

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Ja die Rechnung ist richtig! aber f(x) = e^x ist kein Polynom 4-Grades, daher wuerde ich noch "..." weitergehen, damit der Mathematiker sieht, dass es weiter geht.

also ich wuerde genau, das machen was du geschrieben hast also quasi: 1+x+x^2 /2+x^3/6+x^4/24 aber nun mit den Punkten, weil die Reihe nicht bei x^4 aufhoert :

f(x)= 1+x+x^2 /2+x^3/6+x^4/4 ...

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die drei Punkte "..." waren mir wichtig. Prinzipiell lange Rede kurzer Sinn xD (aber für den Mathematiker wichtig xD)

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und dann kann i mir des drunter eigentlich sparen oder... also die allgesmeine form.

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wenn ich 2 /( epsylon -2 )hab und epsylon gegen null geht... wieso dann unendlich?

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weil du 2/ε -2 hast und nicht 2/(ε -2)

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oder auch -2+2/ε