Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion an ihrer Polstelle

Question

Ich habe folgende Funktion gegeben:

\( y=f(x)=\frac{x+4}{x^{2}-4 x-21} \)

Nun soll ich über Grenzwertbetrachung ermitteln wie sich der Graph verhält wenn ich mich von Rechts & von Links nähere.

Allerdings hatte ich bis jetzt noch nicht das Vergnügen eine solche Aufgabe zu lösen, eine bei der die Nennerfunktion höhere Potenzen als die Zählerfunktion aufweist.

Und dies bringt mich zu folgendem Problem (vorher war es eig. immer eindeutig^^):

Von Rechts: \( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h+1}{h^{2}-10 h-24}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h^{2}\left(\frac{1}{h}+\frac{1}{h^{2}}\right)}{h^{2}\left(1-\frac{10}{h}-\frac{24}{h^{2}}\right)}=\frac{\infty+\infty}{1-\infty-\infty}=? \)
Von Links: \( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-h+1}{h^{2}+10 h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h^{2}\left(\frac{-1}{h}+\frac{1}{h^{2}}\right)}{h^{2}\left(1+\frac{10}{h}\right)}=\frac{-\infty+\infty}{1+\infty}=? \)

PS: Mit hilfe eines Funktionsplotters habe ich das Verhalten schon ermittelt, aber leider noch nicht rechnerrich.

Von Rechts: gegen -Unendlich

Von Links: gegen +Unendlich

Comments

Wie kommen denn die Brüche in der zweiten Graphik zustande?

Was hast du als Polstelle(n)?


f(x) = (x+4)/(x^2 - 4x -21)

Polstellen: Nenner faktorisieren:

(x^2 - 4x - 21) = (x +3)(x-7)

x1 = -3 und x2 = 7.

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Ups, die Polstelle liegt bei (-3).

Z.B.: Bei dem Bruch "von Rechts" setzte ich anstelle des X folgendes ein: (-3+h)

Die Brüche aus der 2. Grafik habe ich durch umformen erstellt.

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Klappt es denn jetzt?

Ich bevorzuge bei solchen Rechnungen für von rechts: x = -3 + 1/n zu schreiben und dann n gegen + unendlich gehen zu lassen. Sollte aber auf dasselbe rauskommen.

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Bei folgendem müsste ja laut Funktionsplotter +Unendlich rauskommen.

\( \frac{-\infty+\infty}{1+\infty} \)

Aber kann das denn stimmen? Bis jetzt hatte ich in den Brüchen höchstens einmal Unendlich und noch nie mehrere. Ich kann mir darunter irgendwie nix vorstellen.

Ich dachte mir das so:

Zähler: Unendlich - Unendlich = 0

Nenner: Unendlich + 1 = Unendlich

Bruch: 0 / Unendlich = 0 <- aber das kann ja nicht sein. :-/

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Das ist nicht so wirklich ideal. Was, wenn du statt nur h ausklammerst und wegkürzt?

Alternative: Gar nichts ausklammern und für h einfach mal 0+ einsetzen.

Dann hast du 1/0+ = +∞

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Von Rechts: \( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h\left(1+\frac{1}{h}\right)}{h\left(h-10-\frac{24}{h}\right)}=\frac{1+\infty}{0-10-\infty}=0 ? ? ? \)
Von Links: \( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h\left(-1+\frac{1}{h}\right)}{h(h+10)}=\frac{-1+\infty}{0+10}=\infty \longleftarrow \) stimmt

Bei "Von Links" scheints zu klappen, bei "Von Rechts" allerdings nicht.

Das ist auch eines meiner Probleme, ich weiss nie genau was ich ausklammern soll. Nur h oder h^2, in der Regel bekome ich es durch probieren raus. Aber hier geht scheinbar beides nicht.

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Beim ersten Fall werde ich nachher mal das -24 prüfen.

Answer 1

f(x) = (x + 4)/(x^2 - 4·x - 21) = (x + 4)/((x + 3)·(x - 7))

Grenzwertbetrachtung an der Polstelle -3

lim (x → -3^-) (x + 4)/((x + 3)·(x - 7)) = ∞
lim (x → -3⁺) (x + 4)/((x + 3)·(x - 7)) = -∞

lim (x → 7^-) (x + 4)/((x + 3)·(x - 7)) = -∞
lim (x → 7⁺) (x + 4)/((x + 3)·(x - 7)) = ∞

Ich habe die positiven Terme mal blau gemalt und die negativen Terme rot. Dann ist das denke ich besser zu sehen. Du kennst ja denke ich die Rechenregeln für positive und negative Zahlen.

Comments

Danke,

"Du kennst ja denke ich die Rechenregeln für positive und negative Zahlen." scheinbar doch nicht so gut wie ich dachte.

Ärgerlich das hätte mir eig. spätestens beim überprüfen auffallen müssen.

Answer 2

Fortsetzung der obigen Diskussion:
f(x) = (x+4)/(x² - 4x -21)

Polstellen: Nenner faktorisieren:

(x² - 4x - 21) = (x +3)(x-7)

x1 = -3 und x2 = 7.

An der Stelle x=-3 ein Pol

x=-3+h = h-3 einsetzen in f(x)

f(h) = (-3+h+4)/((h-3)^2 - 4(h-3) - 21)

= (h+1)/(h^2 - 6h + 9 - 4h + 12 -21)

= (h+1)/(h^2 -10h)

= h(1 + 1/h) / (h(h-10)) = (1+1/h)/(h-10)

h gegen 0+

(1 + ∞)/(0-10) = unendlich / (-10) = - unendlich

Comments

Ach verdammt, danke an euch beide. Schade dass es letztendlich wieder mal an sowas billigem lag :-(.

Was mich jetzt noch interessiert: Woran erkenne ich, was/wie viel ich ausklammern muss?

Die gemeinsam höchste Potenz oder richtet sich das nach etwas anderem?

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Meinst Du jetzt beim Faktorisieren ? Oder wobei das Ausklammern.

Beim Faktorisieren zerlegst du ein Polynom am einfachsten über die Nullstellen in die Linearfaktoren.

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Bei dem Beispiel musste man ja h ausklammen, ich hatte aber schon welche bei dennen ich h^2 ausklammern musste.

Also qasi an der Stelle wo man h ausklammert damit man es aus dem Bruch kürzen kann.

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 Woran erkenne ich, was/wie viel ich ausklammern muss?

Ich würde erst mal versuchen im Originalterm 0 einzusetzen und dann schrittweise immer nur ein h ausklammern. So kann man vermeiden, dass man auf einmal ∞-∞ rechnen muss. (oder ähnliche 'verbotene Operationen'.

Beachte: Es gilt:

∞ - 1 = ∞ 

∞ - n = ∞, für jedes beliebige feste natürliche n

Bei normalen algebraischen Regeln müsste hier ja rechts und links ∞ subtrahiert werden können, was 

-n = 0 ergäbe. 

Wenn du dich genauer für das Rechnen mit unendlich interessierst, stösst du vielleicht mal auf die non-standard analysis. https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis.

Vielleicht begegnest du auch mal noch der Regel von de l^Hospital. Da wird erklärt unter welchen Voraussetzungen man oben und unten ableiten darf. Das geht immer schrittweise bis man den Grenzwert hat.