Art der Polstelle bestimmen bei gebrochenrationalen funktionen?

Question

Aufgabe:

Beschreiben Sie die Art der Polstellen.

a) \( f(x)=\frac{2}{x^{2}-3} \)
b) \( f(x)=\frac{-3}{x^{2}-4 x+4} \)
c) \( g(x)=\frac{1}{(x-3) x} \)
d) \( g(x)=\frac{-4}{3(x-0,5)^{2}} \)
e) \( g(x)=\frac{3 x}{1+x^{2}} \)
f) \( f(x)=\frac{3 x-1}{(1+x)^{2} x} \)

Problem:

Ich habe die Aufgabe gemacht und die Polstellen ausgerechnet, verstehe bloß nicht warum in der Lösung beispielsweise bei

a)Vorzeichenwechsel +/- bei x= -√3 und bei -/+ bei x=√3

was hat das mit dem + und - auf sich?

:)

Answer 1

a) f(x) = 2 / ( x^2 − 3 )
Polstelle
x^2 - 3 = 0
x = + √ 3
und
x = - √ 3

Polstelle
x = - √ 3

Grenzwert festellen von
- √ 3 von links
lim x -> - √ 3 ( - ) [ 2 / ( x^2 - 3) ]
Beispiel   x = - √ 3  - 0.0001 = - 1.73215
x^2  = 3.0003464
2 / ( 3.0003464 - 3 ) = 2 / 0.0003464
geht gegen + ∞ ( linksseitiger Grenzwert )

Grenzwert festellen von
- √ 3 von rechts
lim x -> - √ 3 ( + ) [ 2 / ( x^2 - 3) ]
Beispiel x = - √ 3  + 0.0001 = - 1.7319
x^2  = 2.99997
2 / ( 2.99997 - 3 ) = 2 / -0.00003
geht gegen - ∞ ( rechtsseitiger Grenzwert )

Vorzeichenwechsel von + nach -

Answer 2

Hallo,

das +/- steht für einen Vorzeichenwechsel an der Polstelle von plus nach minus. Die Funktion hat also vor der Polstelle positive Funktionswerte und danach "springt" sie auf negative Funktionswerte. Analog dazu -/+ ist ein Vorzeichenwechsel von minus nach plus.

Bei der Aufgabe a) sieht der Funktionsgraph wie folgt aus:

Wir wechseln also von plus nach minus am Punkt der Polstelle \(-\sqrt{3}\approx -1,73\), deshalb notieren wir das mit "+/-". Bei der Polstelle \(\sqrt{3}\approx 1,73\) wechseln wir hingegen von minus nach plus, also "-/+".

Comments

Kann man das allein von der Funktion aus bestimmen oder muss man dazu den Graphen zeichnen?

---

Nein, man kann den Vorzeichenwechsel auch durch die Berechnung des links- und rechtsseitigen Grenzwertes ausmachen. (Siehe georgborns Antwort)

Answer 3

$$ \text{b)}\quad f(x) = \dfrac{-3}{x^{2}-4 x+4} = -\dfrac{3}{\left(x-2\right)^2} $$In der letzten Darstellung lässt sich die Art der Polstelle unmittelbar ablesen: \(x=2\) ist eine gerade Polstelle und daher findet hier kein Vorzeichenwechsel statt. Da es auch keine anderen möglichen Vorzeichenwechselstellen gib, ist die Funktion überall negativ.

Ähnliche Überlegungen kann man auch bei den anderen Funktionen anstellen. Es müssen weder Graphen noch Grenzwerte betrachtet werden.