Polstelle bei Funktion mit Parameter bestimmen. f(x)= 1 / (x-a)

Question

f(x)= 1 / (x-a)      Es gibt keine Einschränkungen für a.

Welche Fälle muss ich hier betrachten?

Für a=0 habe ich ja eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel mit der Asymptote x=0. Wenn a≠0 ist habe ich wieder eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, einmal von x=-a und einmal mit x=a, oder?

Es müssen jeweils die Grenzwerte links und rechts von der Polstelle berechnet werden.

LG

Answer 1

f(x)= 1 / (x-a)      Es gibt keine Einschränkungen für a.

Eigentlich musst du gar keine Fälle unterscheiden. Die Polstelle ist immer bei x_p = a.  Zudem ist die Polstelle immer eine einfache Polstelle.  D.h. der Graph der Funktion ändert dort das Vorzeichen. 
Hier ein paar Beispiele für a. ~plot~1/(x-3); 1/(x-2); 1/x; 1/(x -(-4))~plot~   

Du kannst feststellen, dass die Graphen nur horizontal zueinander verschoben sind.Von rechts ist der Grenzwert immer + unendlichundvon links ist der Grenzwert immer - unendlich.

Comments

Aber ich muss doch den Fall betrachten, wenn a=0 wäre? Und wenn a<0 ist die Polstelle ja bei x=-a? Wieso muss man das nicht untersuchen?

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x_p = 0, für a=0

ist dasselbe, wie

x_p = a, im Fall a=0.