Untersuchen der Invertierbarkeit einer Matrix C

Question

Aufgabe:

Es sei p eine Primzahl. Untersuchen Sie die Invertierbarkeit von

C=\( \begin{pmatrix} 13 & 7 & 6 \\ -7 & 1 & 1 \\ 3 & 8 & 7 \end{pmatrix} \) ∈ ℤ_p^3x3

in den drei Fällen p= 2, p= 3 und p= 5.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinen Ansatz zu der Aufgabe und stehe auf dem Schlauch.

Answer 1

Fasse die Matrix als Matrix aus \(\mathbb{Z}^{3\times 3}\) auf.

Schau nach in welcher Restklasse von \(\mathbb{Z}_2\) die Determinante der Matrix ist.

Schau nach in welcher Restklasse von \(\mathbb{Z}_3\) die Determinante der Matrix ist.

Schau nach in welcher Restklasse von \(\mathbb{Z}_5\) die Determinante der Matrix ist.

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die Determinante nicht das neutrale Element bezüglich der Addition ist.

Comments

Danke für deine Antwort.

Das ist schon sehr hilfreich. Nur versteh ich grade nicht, wie genau mir die Restklassen weiterhelfen sollen?

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Die Elemente von \(\mathbb{Z}_p\) sind Restklassen

\(\mathbb{Z}_p\) ist eine Gruppe bezüglich der Addition, hat also ein neutrales Element bezüglich der Addition.

Das heißt eine der Restklassen ist neutral bezüglich der Addition.

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Das heißt dementsprechend, wenn keine von den Restklassen in den die Determinanten sind, die Restklasse ist, die neutral bezüglich der Addition ist, wäre die Matrix in allen drei Fällen invertierbar und wenn nicht, dann wäre sie nicht invertierbar bei dem Wert von p bei dem die Restklasse die ist die neutral bzgl. der Addition ist?

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Das heißt dementsprechend, wenn keine von den Restklassen in den die Determinanten sind, die Restklasse ist, die neutral bezüglich der Addition ist, wäre die Matrix in allen drei Fällen invertierbar

Richtig.

und wenn nicht, dann wäre sie nicht invertierbar bei dem Wert von p bei dem die Restklasse die ist die neutral bzgl. der Addition ist?

Richtig.

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Damit wäre die Aufgabe für mich lösbar bzw. ich hab sie gelöst. Danke für die guten Antworten!