DGL 1. Ordnung - Gleichung nach y umstellen

Question

Hallo. Ich habe hier eine Aufgabe zu Differentialgleichungen 1. Ordnung. Die Lösung zu der Aufgabe habe ich. Ich komme aber bei einer Stelle nicht weiter. Hier hat man allgemein integriert und dann nach y umgestellt. Als Lösung erhält man dann y_h  = C/x

Man hat hier die Umkehrfunktion e^ für ln() genutzt aber dann erhalte ich y= x*C und nicht C/x..

kann mir da jemand bitte weiterhelfen, ist ein Verständnisproblem. Der eigentliche Sachverhalt ist für die Frage irrelevant, lediglich die Vorgehensweise ist hier gefragt.. was hat man genau gemacht damit man auf y= C/x kommt.

Text erkannt:

\( \int \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{y}}=-\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}} \rightarrow \ln |\mathrm{y}|=-\ln |\mathrm{x}|+\mathrm{C} \)
Lösung der homogenen DGL: \( \mathrm{y}_{\mathrm{h}}=\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{x}} \)

Answer 1

Hallo :-)

Betrachte die entstandene Gleichung \(\ln(|y|)=-\ln(x)+C\).

Fallunterscheidung:

\(\begin{aligned}1.)\quad  y\geq 0:\quad \ln(y)&=-\ln(x)+C=\ln\left(\frac{1}{x}\right)+C\quad |e^{...}\\[5pt] y&=\frac{1}{x}\cdot e^C\\[30pt]2.) \quad y<0:\quad \ln(-y)&=-\ln(x)+C=\ln\left(\frac{1}{x}\right)+C\quad |e^{...}\\[5pt] -y&=\frac{1}{x}\cdot e^C\\& \Leftrightarrow y=-\frac{1}{x}\cdot e^C\end{aligned}\)

Beide Fälle lassen sich also mit einer Konstanten \(\lambda\) zusammenfassen:

\(y=\lambda\cdot \frac{1}{x}=\frac{\lambda}{x}\).

Comments

Danke für die Antwort. Habs aber noch net ganz verstanden. ich verstehe nicht warum der Kehrwert von x+C genutzt wurde.. warum steht das x auf einmal als Bruch im Nenner 1/x?...

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Der Ausdruck \(x+C\) kommt hier nirgens vor.

Answer 2

ln(y)=-1*ln(x)+C mit e

e^(ln(y)=y=e^(-1*ln(x)+C)  → Potenzgesetz a^(r)*a^(s)=a^(r+s) und a^(n)=1/a^(-n) → a^(-n)=1/a^(n)

y=e^(-1*ln(x))*e^(c) → e^(c)=konstant=C

y=C/e^(ln(x))=C/x

y=f(x)=C/x