Problem mit parallelen Tangenten

Question

Aufgabe:

ich stehe gerade vor einer Aufgabe, die ich nicht lösen kann und nur einen Ansatz habe.

Gegeben ist die Funktion f(x)=1/6*(x+2)^2*(2x-5).

a) der Graph von f schneidet die positive x-Achse im Punkt N. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t1 an den Graphen im Punkt N.

b) Eine zu t1 parallele Tangente t2 berührt den Funktionsgraphen in einem von N verschiedenen Punkt P. Bestimmen Sie die Koordinaten von P. Begründen Sie, dass der Wendepunkt W des Graphen die Strecke PN halbiert.

Problem/Ansatz

Aufgabe a) habe ich gelöst: Tangentengleichung für t1 → f(x)=6,75x-16,875 ; Punkt N (2,5/0)

Mein Ansatz für b war nun, dass die parallele Tangente (t2) und die Tangente (t1) dieselbe Steigung besitzen, also m=6,75. Weiter als das kam ich jedoch nicht, vielleicht kann mir da jemand helfen. :)

Answer 1

Setze die erste Ableitung gleich 6,75, dann findest Du die x-Koordinate auch von P (die zweite Lösung dieser Gleichung ist x = - 3,5).

Und dann müsste man noch zeigen, dass die Wendestelle bei x = -\( \frac{1}{2} \) ist.

Answer 2

Eine zu t1 parallele Tangente t2

        \(t_2(x) = 6,75x + b\)

berührt den Funktionsgraphen in einem von N verschiedenen Punkt P.

Es sei \(P = (x_P | y_P)\).

Dann gilt

(1)        \(t_2(x_P) = f(x_P)\)

weil \(t_2\) und \(f\) den gemeinsamen Punkt \(P\) haben. Außerdem gilt

(2)        \(t_2'(x_P) = f'(x_P)\)

weil \(t_2\) Tangente von \(f\) am Punkt \(P\) ist. Löse das Gleichungssystem um \(x_P\) zu bestimmen.

Und natürlich ist

        \(y_P = t_2(x_P)\).

Begründen Sie, dass der Wendepunkt W des Graphen die Strecke PN halbiert.

Jede ganzrationale Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt.