Den Konvergenzradius der Potenzreihe bestimmen

Question

Es muss der Konvergenzradius der folgenden Reihe bestimmt werden.

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{2^{n}} x^{n} \)

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Answer 1

Hallo,

den Konvergenzradius kannst Du nach Cauchy-Hadamard bestimmen. Demnach ist$$r = \frac{1}{\lim\sup\limits_{n \to \infty} \left( \sqrt[n]{a_n}\right)}$$Das \(a_n\) ist hier$$a_n = \frac{n+2}{2^n}$$Einsetzen gibt$$\begin{aligned} r &= \frac{1}{\lim\sup\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n+2}}{2}} = \frac{1}{\frac 12} = 2, \quad \text{wg.}\space \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n+2} = 1\end{aligned}$$Alternativ geht es hier auch nach dieser Regel$$\begin{aligned} r &= \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \\&=  \lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)\cdot 2^{n+1}}{2^n \cdot (n+3)} \\&=  \lim_{n \to \infty}\frac{2n+4}{n+3}\\&= \lim_{n \to \infty}\frac{2+\frac4n}{1+\frac3n}\\&= 2 \end{aligned}$$Gruß Werner