Flussintegral über Rand von G

Question

(ii) Sei \( G=\left\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{3}: x \geq 0, y \geq 0,0 \leq z \leq 1-x-y\right\} \) und \( \partial G \) der Rand von \( G \).

und \( \boldsymbol{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{l}y \\ 0 \\ 2\end{array}\right) \)

Berechnen Sie: \( \int \limits_{\partial G} \operatorname{rot} v d O \)

Ansatz:

Soweit ich das verstanden habe, ist das Flussintegral(Oberflächenintegral) über das Gebiet G von einem Vektorfeld gefragt.

Erstmal wollte ich das Gebiet parametrisieren. Da ich mir denke, dass die Menge einen Kegel beschreibt sieht meine Parametrisierung so aus: (r*cos(phi), r*sin(phi), z)

Der Normalvektor dazu wäre: (0,0,r)

Ich bin mir aber sehr unsicher, ob ich das richtig parametrisiert habe bzw. ob meine Vorgehensweise überhaupt ansatzweise richtig ist.

Comments

Bei dem Integral kommt null heraus, weil die Divergenz eines Rotationsfeldes verschwindet... Das hilft dir aber vermutlich nicht weiter. Daher meine Frage, ob du den Fluss direkt berechnen sollst oder den Gauß'schen Satz verwenden darfst.

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Man darf den Gauß'schen Satz schon verwenden, ich wäre aber nie darauf gekommen den hier anzuwenden. Da im Integralzeichen rot v steht, hätte ich hier intuitiv an Integralsatz von Green gedacht. Wie kommt man auf Gauß?

Answer 1

Aloha :)

Der Ortsvektor \(\vec r\) zum Abtasten des Gebietes \(G\) muss die Bedingungen von \(G\) erfüllen. Schreiben wir alle vier Ungleichungen hin$$x,y,z\ge0\quad;\quad x+y+z\le1$$wir klar, dass wir zunächst \(x\in[0;1]\) frei wählen können. Nach der Wahl von \(x\) können wir \(y\in[0;1-x]\) frei wählen. Und wenn \(x\) und \(y\) gewählt sind, bleibt für die Wahl von \(z\) nur noch \(z\in[0;1-x-y]\) übrig.

Den Fluss können wir nun mit dem Gauß'schen Satz berechnen:

$$\Phi=\iint\limits_{\partial G}\operatorname{rot}\vec v\,d\vec f=\iiint\limits_G\operatorname{div}\operatorname{rot}\vec v\,dV=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}\int\limits_{z=0}^{1-x-y}\operatorname{div}\operatorname{rot}\begin{pmatrix}y\\0\\2\end{pmatrix}dx\,dy\,dz$$

Da die Divergenz eines Rotationsfeldes verschwindet:$$\operatorname{div}\operatorname{rot}\begin{pmatrix}y\\0\\2\end{pmatrix}=\operatorname{div}\left(\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}y\\0\\2\end{pmatrix}\right)=\operatorname{div}\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}=0$$

ist das Fluss-Integral null.

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Vielen Dank! :)