Aloha :)
Wenn du die beiden Graphen \(y_1=x\) und \(y_2=x^2\) zeichnest, wird klar, dass das Gebiet zwischen diesen beiden Kurven für \(x\in[0;1]\) gemeint ist.
~plot~ x^2 ; x ; [[0|1|0|1]] ~plot~
Die untere Kurve \(\gamma_1\) ist die Parabel \(y_2=x^2\), auf ihr sollen wir vom Ursprung weglaufen:$$\gamma_1\colon\;\vec r_1=\binom{x}{y}=\binom{t}{t^2}\quad;\quad t\in[0;1]$$Die obere Kurve \(\gamma_2\) ist die Gerade \(y_1=x\), auf ihr sollen wir vom Punkt \((1;1)\) zum Urpsrung zurücklaufen:$$\gamma_2\colon\;\vec r_2=\binom{x}{y}=\binom{1-t}{1-t}\quad;\quad t\in[0;1]$$
Damit kannst du nun die Wegintegrale über beide Teilstücke bestimmen:
$$I_1=\int\limits_{\gamma_1}\vec v\,d\vec r=\int\limits_0^1\vec v(t)\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\binom{x^2(t)y(t)}{x(t)+y(t)}\binom{1}{2t}\,dt=\int\limits_0^1\binom{t^2\cdot t^2}{t+t^2}\binom{1}{2t}\,dt$$$$\phantom{I_1}=\int\limits_0^1\left(t^4+2t^2+2t^3\right)dt=\left[\frac{t^5}{5}+\frac23\,t^3+\frac12\,t^4\right]_0^1=\frac15+\frac23+\frac12=\frac{6+20+15}{30}=\frac{41}{30}$$
$$I_2=\int\limits_{\gamma_2}\vec v\,d\vec r=\int\limits_0^1\vec v(t)\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\binom{x^2(t)y(t)}{x(t)+y(t)}\binom{-1}{-1}\,dt=\int\limits_0^1\binom{(1-t)^2(1-t)}{(1-t)+(1-t)}\binom{1}{1}\,dt$$$$\phantom{I_2}=\int\limits_0^1\left((1-t)^3+2(1-t)\right)dt=\left[-\frac{(1-t)^4}{4}-(1-t)^2\right]_0^1=\frac14+1=\frac54$$
Es sind also \(a=41\) und \(b=5\).
