Aufgabe:
Mit V bezeichnen wir einen endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraum mit Skalarprodukt [⋅,⋅]. Darüber hinaus sei E eine Orthonormalbasis von V.
Bestimmen Sie für jede der folgenden Aussagen zu orthogonalen Abbildungen, ob diese wahr oder falsch ist.
1. Die Zeilenvektoren einer Matrix aus O(n,R) bilden eine Orthonormalbasis des Rn (mit dem Standardskalarprodukt versehen).
2. Falls für die lineare Abbildung f:V→V die Menge f(E) wieder eine Orthonormalbasis von V ist, dann ist f orthogonal.
3. Hat die orthogonale Matrix A∈O(n,R) die Determinante 1, dann ist +1 der einzige reelle Eigenwert von A.
4. Jede orthogonale Abbildung von V ist über R diagonalisierbar.
