Aloha :)
Über das Monotonie-Verhalten einer Funktion \(f(x)\) gibt die Ableitung \(f'(x)\) Auskunft:
$$f'(x)\text{ ist }\left\{\begin{array}{lcl}>0 & \implies &\text{streng monoton wachsend}\\\ge0 & \implies &\text{monoton wachsend}\\\le0 & \implies &\text{monoton fallend}\\<0 & \implies &\text{streng monoton fallend}\end{array}\right.$$
Für \(f(x)=x^2\) ist \(f'(x)=2x\), sodass:$$f(x)=x^2\text{ ist }\left\{\begin{array}{lc}\text{streng monoton wachsend} & \text{für }x>0 &\text{, denn }f'(x)=2x>0\\\text{monoton wachsend} & \text{für }x\ge0 &\text{, denn }f'(x)=2x\ge0\\\text{monoton fallend} & \text{für }x\le0 &\text{, denn }f'(x)=2x\le0\\\text{streng monoton fallend} & \text{für }x<0 &\text{, denn }f'(x)=2x<0\end{array}\right.$$
Die erste Ableitung, also \(f'(x)=2x\) hat ihrerseits die Ableitung \(f''(x)=2>0\), die immer positiv ist. Also ist die erste Ableitung \(f'(x)=2x\) streng monoton wachsend für alle \(x\).
