Bestimme die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen:

Question

Aufgabe:

Bestimme Schnittpunkte der beiden Graphen:

f(x)= x^3-3x^2-x+3 und g(x)= -x^3+3x^2-2x

Problem/Ansatz:

Ich sitze jetzt schon seit einiger Zeit an dieser Aufgabe und kann trotz Lösung den Rechenweg nicht nachvollziehen.

Zunächst setze ich die beiden Funktionen gleich und bringe alles auf eine Seite. Dann habe ich

2x³-6x²+x+3 = 0

Mein Problem ist jetzt die Gleichung nach x aufzulösen. Ich hatte daran gedacht x auszuklammern, allerdings weiß ich nicht was ich dann mit der +3 machen soll. Falls jemand einen Tipp hätte wäre ich sehr dankbar :)

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Dann habe ich$$2x^3-6x^2+x+3 = 0$$

Das ist richtig.

... allerdings weiß ich nicht was ich dann mit der +3 machen soll.

es stellt sich doch eher die Frage, was Du mit der 3 im Exponenten machen sollst. Tipp: wenn Du alle Koeffizeinten addierst ... $$2 - 6 + 1 + 3 = 0$$... kommt die linke Seite - also 0 - heraus. Das bedeutet, dass \(x=1\) eine Nullstelle dieses Polynoms ist. Dividiere also durch \((x-1)\):$$(2x^3-6x^2+x+3) \div (x-1) = 2x^2 -4x -3$$ also ist $$ 2x^3-6x^2+x+3 = (x-1)(2x^2 -4x -3) = 0$$und davon kannst Du die Nullstellen bestimmen - oder?

Ein Blick auf die Graphen der Funktionen schadet nicht, um das Ergebnis zu kontrollieren

~plot~ x^3-3x^2-x+3;-x^3+3x^2-2x ~plot~

Gruß Werner

Comments

Noch ein allgemeiner Hinweis: wenn Du über ein Polynom vom Grad 3 oder höher stolperst, so wird es entweder immer eine einfach zu findende Nullstelle geben (wie hier das \(x=1\)) oder Ihr nehmt gerade nummerische Verfahren zum Finden von Nullstellen bei beliebigen Funktionen durch (z. B. das Newton-Verfahren).

Man kann die Nullstellen eines Polynoms 3.Grades analytisch finden - das geht mit den sogenannten Cardanischen Formeln - aber das ist so komplex, und wird nur in Ausnahmefällen angewendet.

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Vielen Dank erstmal für die Antwort :)

Auf Nullstelle raten und Polynomdivision bin ich nicht gekommen. Das ist alles auch schon ewig her.. aber habe es jetzt hinbekommen.

Den letzten Schritt verstehe ich trotzdem nicht. Wenn ich die Gleichung, die ich durch die Polynomdivision bekommen habe jetzt mit (x-1) multipliziere habe ich doch wieder die Gleichung die ich oben schon mal hatte und mit der ich nicht weiter gekommen bin. Tut mir leid, ich stehe irgendwie total auf dem Schlauch

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Ich habe es rausgefunden, vielen Dank :)

Answer 2

Eine Lösung x=1 kann man raten. Dann gilt: (2x³-6x²+x+3)/(x-1)=2x²-4x-3.

2x²-4x-3=0 hat die Lösungen x_3/4=1±\( \sqrt{10} \) /2