Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von Schnittpunkte

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich würde sagen der Schnittpunkt der Graphen hat die Koordinaten ( − 1 , 4 ) (−1,4) (auf zwei Dezimalen gerundet).

Answer 1

Mit Näherungsverfahren kenne ich mich gar nicht aus.

\(-x^4-x^3-6x^2+x=x^4+3x^2-1\)

\(-2x^4-x^3-9x^2+x+1=0\)

Mit Geogebra kommt ein Kegelschnitt heraus:

\(-640,24x^2+5,98xy-0,99y^2+54,18x-66,73y=-67,71\)

Nullstellen \(y=0\)

\(-640,24x^2+54,18x=-67,71\)

mit Wolfram:

\(x_1≈-0,28563\)

\(x_2≈0,370257\)

Answer 2

-2x^4-x^3-9x^2+x+1 = 0

x^4 +1,5x^3 +4,5x^2-0,5x-0,5 = 0

Verwende ein Näherungsverfahren

Comments

Ich kenne keine Näherungsverfahren außer das Newton-Raphson-Verfahren.

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Um die Schnittpunkte von f(x) und g(x) zu finden, müssen wir die Gleichung f(x) = g(x) lösen. Da es sich um eine Polynomgleichung handelt, können wir ein Näherungsverfahren wie das Newton-Raphson-Verfahren verwenden.

Wir definieren eine Funktion h(x) = f(x) - g(x) und suchen die Nullstellen von h(x).

h(x) = -x^4 - x^3 - 6x^2 + x - x^4 - 3x^2 + 1
h(x) = -2x^4 - x^3 - 9x^2 + x + 1

Wir wenden nun das Newton-Raphson-Verfahren auf h(x) an, um die Nullstellen zu finden.

Zunächst benötigen wir eine Startnäherung. Da wir wissen, dass einer der Schnittpunkte bei x=-1 liegt, können wir als Startnäherung x0=-1 wählen.

Die Ableitung von h(x) ist:

h'(x) = -8x^3 - 3x^2 - 18x + 1

Wir setzen nun die Werte in die Formel des Newton-Raphson-Verfahrens ein:

x1 = x0 - h(x0)/h'(x0)
x1 = -1 - (-2*(-1)^4 - (-1)^3 - 9*(-1)^2 + (-1) + 1)/(-8*(-1)^3 - 3*(-1)^2 - 18*(-1) + 1)
x1 ≈ -1.35

Als nächstes verwenden wir x1 als neue Startnäherung:

x2 = x1 - h(x1)/h'(x1)
x2 ≈ -0.95

Wir setzen diesen Prozess fort, bis wir eine gewünschte Genauigkeit erreicht haben. Es stellt sich heraus, dass die Nullstelle bei x ≈ -1.27 liegt.

Um den anderen Schnittpunkt zu finden, können wir denselben Prozess mit einer anderen Startnäherung durchführen. Eine mögliche Startnäherung wäre x0=0.

Dann erhalten wir die Funktion:

h(x) = -x^4 - x^3 - 6x^2 + x - x^4 - 3x^2 + 1
h(x) = -2x^4 - x^3 - 9x^2 + x + 1

Und die Ableitung:

h'(x) = -8x^3 - 3x^2 - 18x + 1

Durch Anwenden des Newton-Raphson-Verfahrens erhalten wir die Nullstelle bei x ≈ 0.62.

Daher sind die Schnittpunkte der Graphen von f(x) und g(x) ungefähr bei (-1.27,-2.32) und (0.62,-0.15).

Ich habe das jetzt kopiert, ist das richtig?