Berechnen Sie näherungsweise den Inhalt der Fläche, die das Schaubild der Funktion f(x) = (x-1)* \sqrt{x} x+3 mit …

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie näherungsweise den Inhalt der Fläche, die das Schaubild der Funktion f(x) = (x-1)*\( \sqrt{x+3} \) mit der x-Achse einschließt.

Problem/Ansatz:

Nullstelle habe ich bei (1/0), und ich weiß auch, das x > -3 sein muss, das heißt ich habe meinen Intervall auch schon gefunden. Ich komme aber nicht auf die Aufleitung der Funktion, kann mir das bitte einer erklären?

Answer 1

Berechnen Sie näherungsweise

Damit kannst du es über eine Ober- und Untersumme machen. Bei genügend Rechtecken sollte das auch ziemlich genau werden.

∫ (-1 bis 3) ((x - 1)·√(x + 3)) dx ≈ -8.533

Damit Beträgt die Fläche näherungsweise 8.5 FE

Comments

Vielen Dank, auf das Ergebnis komme ich auch mit dem Taschenrechner, aber ich wüsste gern wie die Stammfunktion aussieht. Auch wenn das hier nicht gefragt ist.

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Kennst du integralrechner.de ?

Answer 2

Aloha :)

Die Nullstellen der Funktion$$f(x)=(x-1)\sqrt{x+3}$$sind offensichtlich \(x_1=-3\) und \(x_2=1\). In diesem Bereich verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, was wegen \(f(0)<0\) sofort klar ist. Daher wählen wir ein negatives Vorzeichen für das Integral, um uns die Betragsstriche zu ersparen.

~plot~ (x-1)*sqrt(x+3) ; [[-4|2|-4|1]] ~plot~

Den gesuchten Flächeninhalt bestimmen wir nun mit partieller Integration:$$F=-\int\limits_{-3}^1\underbrace{(x-1)}_{=u}\underbrace{(x+3)^{\frac12}}_{=v'}\,dx=\left.-\underbrace{(x-1)}_{=u}\cdot\underbrace{\frac23(x+3)^{\frac32}}_{=v'}\right|_{-3}^1+\int\limits_{-3}^1\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac23(x+3)^{\frac32}}_{=v}\,dx$$$$\phantom{F}=0+\left[\frac23\cdot\frac25(x+3)^{\frac52}\right]_{-3}^1=\frac4{15}\cdot4^{\frac52}=\frac{4}{15}\cdot4^2\sqrt4=\frac{128}{15}$$