Question

Berechne den absoluten Inhalt der Fläche, die das Schaubild von f mit der \( x \)-Achse einschließt.

a) \( f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+2, x \in \mathbb{R} \)
e) \( f(x)=x \cdot(x-3)^{2}, x \in \mathbb{R} \)
b) \( f(x)_{t}=x^{2}-x-6, x \in \mathbb{R} \)
f) \( f(x)=-\frac{1}{4} x^{4}+4, x \in \mathbb{R} \)
c) \( f(x)=-x^{2}+4 x+6, x \in \mathbb{R} \)
g) \( f(x)=\frac{1}{8} x^{4}-x^{2}+2, x \in \mathbb{R} \)
d) \( f(x)=x^{3}-6 x, x \in \mathbb{R} \)
h) \( f(x)=-x^{2}+5-\frac{4}{x^{2}}, x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \)

Comments

Es wäre schon gut, wenn du auch sagen kannst, was du nicht verstehst. Deine Hausaufgaben machen wir hier nicht und das ist auch alles andere als sinnvoll. Es finden sich im Internet genügend Beispiele dazu, wie man derartige Aufgaben löst. Schildere also bitte deine konkreten Probleme.

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absoluten Inhalt der Fläche

Das meint die Beträge aller betreffenden Flächen. Flächen können auch negative Werte haben,wenn sie unter der x-Achse liegen.

Nullstellen bestimmen und jeweils von Nullstelle zu Nullstelle integrieren.

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Das "absolut" kann man sich eigentlich schenken, denn Flächeninhalte können per Definition schon nicht negativ sein. In der Integralrechnung spricht man zur besseren Unterscheidung dann aber auch gerne von absoluten Flächeninhalten. Im Gegensatz dazu gibt es dann noch die orientierten Flächeninhalte, die auch negativ sein können, um zu kennzeichnen, dass diese sich unterhalb der x-Achse befinden. Schließlich gibt es noch die Flächenbilanz als die Summe aller orientierten Flächeninhalte.

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Etwa zwei Stunden vor dieser Frage hast Du mit Deiner vorherigen Anfrage etwas eingestellt, was sehr ähnlich ist. Was verstehst Du nicht bei diesen Aufgaben?

Was hat es mit dem Index t bei b) auf sich?

Answer 1

Hallo.

Ein Schaubild sehe ich leider nicht. Die Grenzen für die Integration musst du dann davon ablesen oder berechnen, das sind die Nullstellen der Funktion. Ansonsten musst du eben sowieso erstmal die Stammfunktion der Funktionen bestimmen. Da hier alle Funktionen Polynome sind, kannst du hier die Potenz,- & Summenregel verwenden. Du integrierst also mithilfe der unten stehenden Potenzregel alle Summanden seperat. Da hier nach der absoluten Fläche gefragt ist, setzt du vor dem Integral noch Betragstriche.

Potenzregel: Sei a ∈ |R. Eine Stammfunktion F für eine Funktion f : |R —> |R, f(x) := ax^n, ist gegeben durch die Vorschrift

F(x) = a x^(n+1) / (n+1) + C

(Hierbei ist C ∈ |R eine Integrationskonstante)

Wichtige Bemerkung: Hyperbelfunktionen wie 1/x^p kannst du umschreiben als 1/x^p = x^(-p) und dann die obige Regel nutzen.

Comments

Ein Schaubild sehe ich leider nicht.

Das muss man ja auch nicht sehen. Man bezeichnet den Graphen von \(f\) unter anderem auch als Schaubild von \(f\). Es gibt also auch nichts abzulesen, sondern zu berechnen.

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Ja stimmt, hast Recht. Ich meinte einfach nur, da ja kein Intervall angegeben ist, wo der FS die Fläche berechnen soll. Die Grenzen kann der FS aber natürlich auch berechnen, das sind ja die Nullstellen.

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Deswegen kann man sich ja überlegen, wie die Integrationsgrenzen auszusehen haben, wenn es um eine eingeschlossene Fläche geht. ;)

Answer 2

Finde die Nullstellen dieser Funktionen. Das sind die Integrationsgrenzen der Teilflächen. Addiere den Absolutbetrag aller Teilflächen. Fertig.

Es hilft, wenn Du Dir den Funktionsplot anzeigen lässt.

Answer 3

Wo liegen deine Probleme? Evtl. Graphen skizzieren bzw. skizieren lassen um sich das vorstellen zu können.

Hier meine Kontrollergebnisse. Wie immer kein Anspruch auf Richtigkeit. Solltest du etwas anderes heraus haben, können wir gerne über das Ergebnis diskutieren.

a) f(x) = 2 - 1/2·x^2

A = ∫(2 - 1/2·x^2, x, -2, 2) = 16/3 = 5.333

b) f(x) = x^2 - x - 6

A = |∫(x^2 - x - 6, x, -2, 3)| = 125/6 = 20.83

c) f(x) = - x^2 + 4·x + 6

A = ∫(- x^2 + 4·x + 6, x, 2 - √10, 2 + √10) = 40/3·√10 = 42.16

d) f(x) = x^3 - 6·x

A = 2·|∫(x^3 - 6·x, x, 0, √6)| = 18

e) f(x) = x·(x - 3)^2

A = ∫(x·(x - 3)^2, x, 0, 3) = 27/4 = 6.75

f) f(x) = 4 - 1/4·x^4

A = 2·∫(4 - 1/4·x^4, x, 0, 2) = 64/5 = 12.8

g) f(x) = 1/8·x^4 - x^2 + 2

A = 2·∫(1/8·x^4 - x^2 + 2, x, 0, 2) = 64/15 = 4.267

h) f(x) = - x^2 + 5 - 4/x^2

A = 2·∫(- x^2 + 5 - 4/x^2, x, 1, 2) = 4/3 = 1.333