Question

Berechne den Inhalt der Fläche, den die Schaubilder der Funktionen \( f \) und \( g \) begrenzen. Skizziere die Flächen.

a) \( f(x)=-\frac{1}{2} x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+2, g(x)=x+2, x \in \mathbb{R} \)
b) \( f(x)=-x^{2}+4 x-1, g(x)=2 x-1, x \in \mathbb{R} \)

Answer 1

Kannst du auch dein konkretes Problem schildern, damit uns klar ist, was du nicht verstehst?

1) Bestimme zunächst die Schnittstellen der Graphen als Grenzen für das Integral: \(f(x)=g(x)\)

2) Überlege dann, welche Funktion oberhalb liegt und bilde die Differenz von oberer Funktion minus unterer Funktion, zum Beispiel \(d(x)=f(x)-g(x)\), wenn der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\) liegt. Das kann man herausfinden, indem man innerhalb des Intervalls zwischen den Schnittstellen einen Vergleich der Funktionswerte macht. Wenn das Intervall zum Beispiel \([1;5]\) ist, kann man \(f(2)\) und \(g(2)\) vergleichen.

3) Integriere dann über die Funktion \(d\) im entsprechenden Intervall.

4) Fahre so für jedes Teilintervall fort.

Kurzvariante:

Bestimmte \(d(x)=f(x)-g(x)\) und berechne damit, die vom Graphen von \(d\) und der \(x\)-Achse eingeschlossene Fläche.

Zeichnen bekommst du hoffentlich selbst hin. Prüfe deine Integral mit dem Taschenrechner oder auf https://www.integralrechner.de/.

Answer 2

Wo liegen genau deine Probleme? Hast du bereits beim Skizzieren Probleme?

a)

b)

Answer 3

Skizziere die Flächen.

Ich habe sie grün angemalt: