K und die x-Achse begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt A_{1}. Wähle u, damit gilt: A_{2}(u)=A_{1}.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f \) durch \( f(x)=-\frac{1}{2}\left(x^{3}-9 x\right) ; x \in R \). K ist der Graph von \( f \).

\( \mathrm{K} \) und die \( \mathrm{x} \)-Achse begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt \( \mathrm{A}_{1} \).

\( \mathrm{K} \), die \( \mathrm{x} \)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \( \mathrm{x}=\mathrm{u} \) umschließen eine Fläche mit dem Inhalt \( \mathrm{A}_{2}(\mathrm{u}) \).

Wie muss u gewählt werden, damit gilt: \( \mathrm{A}_{2}(\mathrm{u})=\mathrm{A}_{1} ? \)

Geben Sie einen sinnvollen Bereich für u an.

Lässt sich \( u(u>3) \) bestimmen, ohne \( A_{1} \) zu berechnen?

Nehmen Sie Stellung zu \( -\int \limits_{3}^{a} f(x) d x=\int \limits_{0}^{3} f(x) d x \Leftrightarrow F(a)=F(0) ;(a \neq 0) \), wobei \( F \) Stammfunktion von \( \mathrm{f} \) ist.

Answer 1

f(x) = 4.5·x - 0.5·x^3

F(x) = 2.25·x^2 - 0.125·x^4

F(a) = F(0)

2.25·a^2 - 0.125·a^4 = 0

a = - 3·√2 ∨ a = 3·√2 ∨ a = 0

Damit sollte a = 3·√2 = 4.243 sein.

Comments

F (a) = F (0) ?? Wie können Sie das eventuell erklären?

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Ja. Ich kann es erklären. Du berechnest im Grunde die Nullstellen der Stammfunktion. Warum werden dann die beiden in der Skizze dargestellten Flächen gleich groß?

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Ich weiß es grade nicht. Warum nochmal die Nullstellen der Stammfunktion? F(a) steht für die Fläche in Abhängigkeit von u, richtig?

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Das Integral von 0 bis u ist genau dann 0 wenn die Flächen über dem Graphen genauso groß sind wie die Flächen unter dem Graphen. Dann heben sich die Flächen auf und das Ergebnis ist Null.

Answer 2

Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

Die Stammfunktion ist klar

F ( x ) = -1/8*x^4 + 9/4*x^2

Die Nullstellen der Funktion f sind x = 0 und x = 3

Die Fläche A1 ( oberhalb der x-Achse ) ist
[ F ( x ) ]₀³

Die Fläche A2 ( unterhalb der x-Achse ) ist
[ F ( x ) ]₃^u

F ( 3 ) - F ( 0 ) = F ( u ) - F ( 3 )

( Am besten du rechnest jetzt F ( 3 ) und F ( 0 ) einmal aus )

Nun ist die Fläche unterhalb der x-Achse negativ.
Richtig müssen wir schreiben :

F ( 3 ) - F ( 0 ) = abs( F ( u ) - F ( 3 ) )

Diese Fläche bekommen wir positiv wenn wir die Summanden vertauschen
F ( 3 ) - F ( 0 ) = F ( 3 ) - F ( u ) 
F ( 3 ) - F ( 0 ) = F ( 3 ) - F ( u )   |  - F ( 3 )
- F ( 0 ) = - F ( u )
0 = - F ( u )
F ( u ) = 0

-1/8*u^4 + 9/4*u^2 = 0
-1/8*u^4 = - 9/4*u^2
1/8 * u^2 = 9/4
u^2 = 72 / 4 = 18
u = ± 4.243

Sinnvolles Ergebnis
u = 4.243