Integration durch Substitution: Wie wähle ich das u?

Question

Ich habe die Funktion $$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+2 }$$

Wie bilde ich hiervon die Stammfunktion? Wäre Integration durch Substitution hier bei diesem Fall am besten?

Comments

Wäre Integration durch Substitution hier bei diesem Fall am besten?

Ja, wenn man folgendes weiß:

$$ \int\frac { 1 }{ u^2+1 }du=arctan(u)+C $$

Nun versuche im Nenner die Form u^2+1 herzustellen!

Answer 1

1. Klammere 2 im Nenner aus

2. Substituiere

z= x/√2

dann kommst Du auf der Arc tan Funktion.

Comments

Wie komme ich auf die Substitution x/√2

Danke

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indem Du Dir klarmachst, das das Ganze auf das arctan -Integral hinausläuft, ist aber wirklich schwer.

Answer 2

https://www.integralrechner.de/

Answer 3

Ich mache das mal etwas allgemeiner

∫ 1/(x^2 + a) dx

1/a * ∫ 1/((x/√a)^2 + 1) dx

Subst. z = x/√a

1 dz = 1/√a dx

dx = √a dz

1/a * ∫ 1/(z^2 + 1) √a dz

1/√a * ∫ 1/(z^2 + 1) dz

1/√a * arctan(z) + c

Resubst.

1/√a * ATAN(x/√a) + c