Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe bestimmen.

Question

Aufgabe:

Kann mir jemand erklären, wie darauf komme, dass der Konvergenzradius r der folgenden Potenzreihe e ist.

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)\( (1+\frac{1}{n})^{n^{2}}(x+1)^{n} \)

Weil ich kam da auf r = 1... Vielleicht kann mir das jemand Schritt für Schritt vorrechnen.. Danke ;)

Comments

Wenn die Reihe bei n=0 beginnt, gibt's ein Problem mit 1/n. Sonst scheint mir der Konvergenzradius nicht e, sondern 1/e zu sein.

Answer 1

Aloha :)

Nach Cauchy-Hadamard ist der Konvergenzradius$$r=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}$$

Der Konvergenzradius ist also \(r=\frac{1}{e}\) und der Konvergenzbereich folgt aus

$$|x+1|<r=\frac1e\implies-\frac1e<x+1<\frac1e\implies-\frac1e-1<x<\frac1e-1$$