Eigenwerte der Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben ist die Matrix \( \mathbf{A} \) mit
\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 6 & -1 \\ 0 & -5 & 0 \\ -1 & -5 & 3\end{array}\right) \)
Berechnen Sie alle Eigenwerte.
\( \lambda_{1}=\square \lambda_{2}=\square_{3}= \)

Problem/Ansatz:
Wie berechne ich die Eigenwerte bräuchte einen Ansatz und eine Lösung weil bei mir andauernd das falsche rauskommt.

Answer 1

Aloha :)

Die Eigenwerte \(\lambda\) sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:

$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 6 & -1\\0 & -5-\lambda & 0\\-1 & -5 & 3-\lambda\end{array}\right|=(-5-\lambda)\cdot\left[(3-\lambda)^2-1\right]=-(\lambda+5)\cdot(\lambda^2-6\lambda+8)$$$$0=-(\lambda+5)\cdot(\lambda-2)\cdot(\lambda-4)$$Als Eigenwerte lesen wir also ab: \(\quad\lambda_1=-5\quad;\quad\lambda_2=2\quad;\quad\lambda_3=4\).

Answer 2

Wie berechne ich die Eigenwerte

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Bestimme also das charakteristische Polynom und anschließend die Nullstellen dieses Polynoms.