Aloha :)
Das Volumen des Gebietes \(G\) kannst du wie folgt beschreiben:$$G=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,x\in[0;1]\;\land\;y\in[0;1-x]\;\land\;z\in[0;1-x-y]\}$$Wenn du nun die Randflächen des Gebietes betrachten möchtest, muss du jeweils genau eine der 3 Variablen auf ihrem Extermwert festhalten.
Wegen \(\operatorname{rot}\vec v=(0|0|1)^T=\vec e_z\) brauchst du allerdings bei der direkten Berechnung des Flusses nur die Flächenanteile zu berücksichtigen, deren Normalenvektor (anti-)parallel zur \(z\)-Achse ist. Das sind die beiden, bei denen \(z=0\) und \(z=1-x-y\) festgehalten wird. Da das \(z\) in den Integralen aber gar nicht mehr auftaucht, bedeutet dies:
$$\Phi=\left.\int\limits_{x=0}^1\,\int\limits_{y=0}^{1-x}\operatorname{rot}\vec v\cdot(-\vec e_z)\,dx\,dy\right|_{z=0}+\left.\int\limits_{x=0}^1\,\int\limits_{y=0}^{1-x}\operatorname{rot}\vec v\cdot(+\vec e_z)\,dx\,dy\right|_{z=1-x-y}$$Die unterschiedlichen Vorzeichen der Flächen-Normalenvektoren \(\pm\vec e_z\) kommen daher, dass sie aus dem Volumen heraus zeigen müssen. Daher muss für \(z=0\) der Flächen-Normalenvektor nach unten zeigen und für \(z=1-x-y\) muss er nach oben zeigen. Setzen wir nun \(\operatorname{rot}\vec v=\vec e_z\) ein und lassen die \(z\)-Randwerte weg, weil es kein \(z\) gibt, in das wir sie einsetzen könnten, erhalten wir:$$\Phi=\int\limits_{x=0}^1\,\int\limits_{y=0}^{1-x}(-1)\,dx\,dy+\int\limits_{x=0}^1\,\int\limits_{y=0}^{1-x}(+1)\,dx\,dy=0$$
