Aloha :)
Du verwendest den Lagrange-Formalismus in der schlimmstmöglichen Form. Die Lagrange-Funktion verschleiert das Wesentliche. Du sollst ja auch die Lagrange-Multiplikatoren, nicht die Lagrange-Funktion verwenden.
Wir sollen eine Funktion \(f\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g\) optimieren:$$f(x;y)=e^{x-2y}\quad;\quad g(x;y)=x^2+y^2=4$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion proportional zum Gradient der Nebenbedingung sein, der Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) ist der Lagrange-Multiplikator:
$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\operatorname{grad}{g(x;y)}\quad\implies\quad\binom{e^{x-2y}}{-2e^{x-2y}}=\lambda\binom{2x}{2y}$$Wir dividieren die Gleichung für die erste Koordinate durch die für die zweite Koordinate:
$$\frac{e^{x-2y}}{-2e^{x-2y}}=\frac{\lambda\cdot 2x}{\lambda\cdot 2y}\quad\implies\quad-\frac{1}{2}=\frac{x}{y}\quad\implies\quad y=-2x$$
Diesen Befund setzen wir nun in die Nebenbedingung ein:$$4\stackrel!=x^2+y^2=x^2+4x^2=5x^2\implies x=\pm\frac{2}{\sqrt5}\implies y=-2x=\mp\frac{4}{\sqrt{5}}$$
Die beiden Extremstellen sind also:$$E_1\left(-\frac{2}{\sqrt5}\,\bigg|\,\frac{4}{\sqrt5}\right)\quad;\quad E_1\left(\frac{2}{\sqrt5}\,\bigg|\,-\frac{4}{\sqrt5}\right)$$
