Eindeutigkeit - Injektivität

Question

Aufgabe:

Es sei f : A → B eine Abbildung. Dann sind äquivalent
(I) f ist injektiv
(II) Es existiert eine Abbildung g : B → A mit g ◦ f = idA
(III) Für je zwei Abbildungen h1, h2: C → A gilt f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2.  Man sagt auch f kann von links gekürzt werden.

Problem/Ansatz:

Mir fehlt es an Beweisideen, um von (II) ⇒ (III) und von (III) ⇒ (I) zu kommen.

Das wäre toll!

Comments

Das sind meine Ideen für

(II) ⇒ (III)

Es gilt der Satz f^−1 ◦ f = idA. Daraus folgt: g(x)  = f^−1(x) ⋅ g(x)  ist insofern das Inverse oder die Umkehrabbildung von f(x). Umkehrabbildungen können nur gebildet werden, wenn die Abbildungen bijektiv sind ⇒f(x) ist bijektiv.

Bijektive Abbildungen sind injektiv und surjektiv und auf Grund der Injektivität hat f(x) eine eindeutige Zuordnung der Bildmenge. Es folgt, dass f(x) eine bijektive Abbildung ist mit eindeutigen Bildelementen b∈B ⇒ f: A → B.

(III) ⇒ (I)

Wir setzen f:A→B. Als Voraussetzung für (III) gilt, dass f eine eindeutige Funktion ist.

Daraus folgt, dass f injektiv ist.

Ich freue mich über Kommentare und Anmerkungen zu diesen Ideen!