Winkel bei der Multiplikation von komplexen Zahlen

Question

 

bevor ich die Frage stelle, möchte ich folgendes definieren:

Liegt Z_n im :

1. Quadranten dann ist der arcrtangens von φ = b/a

2. oder 3. Quadranten dann ist der arctangens φ = b/a + π

4. Quadranten dann ist der  artangens φ = b/a +2π

Soweit richtig?

Meine Frage: Bei der Multiplikation werden die Winkel addiert und die Beträge multipliziert.

Was passiert bei der Multiplikation von Z₁*Z₂,  wenn Z₁ im 4. Quadranten liegt mit z = (√3-i)

und Z₂ im 1. Quadranten liegt mit z = (1+i).

Meine Lösung wäre: z₁*z₂ = 2 * √2 * ( cos (11/6 + 1/4 π) + i * sin (11/6 + 1/4 π))

⇔ 2*√2*(cos(25/12π) + i * sin(25/12π)

So: Der richtige Winkel lt. Musterlösung ist aber 1/12π. Warum zieht man nochmal 2π ab??

Answer 1

Weil du nicht erkennen kannst ob du einen Winkel von
α oder α + n·2π hast.

2π ist ja der Winkel eines Vollkreises. wenn du also 2π addierst hast du im Grunde den selben Winkel. SIN und COS haben doch auch eine Periode von 2π.

Comments

Mhh:

 Z₁ liegt im 4. Quadranten, d.h. im Bereich : 3/2π < φ < 2π, da der arctangens aber -1/6 π beträgt addiert man 2π hinzu, um in diesen Bereich zu gelangen.

 

Z₂ liegt im 1. Quadranten, d.h. im Bereich 0 <φ < 1/2π  ? Da dies der Fall ist mit 1/4 π kann das auch so bleiben.

 

Jetzt versteh ich es immer noch nicht. Wenn ich die Winkel addiere dann erhalte ich 25/12π. Das wäre mehr als eine Umdrehung. Muss ich deshalb 2π abziehen?

 

Übrigens. Danke für deine Hilfe Mathecoach:)))

---

SUPPPPI. Jetzt habs ich auch kapiert!!!

 

Und im 2. oder 3. Quadranten wird solange mit π addiert / subtrahiert bis das Intervall erfüllt ist?

 

Boah danke:)))))))))))))))

---

Nein, mit 2π !!!

Answer 2

Weil man immer bestmöglich den Hauptwert der Phase (Winkel Phi) haben möchte. Dieser liegt im Intervall [0, 2π) (rad)

25/12π =~ 6,54 > 2π   --> Nicht der Hauptwert der Phase!!

 

Lösung: Subtrahiere solange 2π, bis der Winkel im Intervall [0, 2π) liegt!

Ist der Winkel (rad) negativ, wird solange 2π drauf addiert, bis der Winkel im Intervall [0, 2π) liegt!

Man möchte immer den "echten Winkel" haben bzw. keine negativen Winkel < 0° oder Winkel > 360°