Komplexe Zahlen herausfinden für reelle Zahlen Lösungen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die komplexe Zahl z1 mit

z1=−2+5i


Ermitteln Sie eine komplexe Zahl z2≠0

sodass


a) z1+z2 reell ist.

z2=


b) z1⋅z2 reell ist.

z2=

c) z1+z2 und z1⋅z2 reell sind.

z2=

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter, da ich nicht weiß, wie ich vorgehen muss.

Ich bitte nicht nur um die Lösung, sondern am besten auch noch ein paar Erklärschritte....

Ich bedanke mich vielmals im Voraus

Answer 1

Gegeben ist die komplexe Zahl z1=−2+5i

Ermitteln Sie eine komplexe Zahl z2≠0, sodass


a) z1+z2 reell ist.

Ansatz: z2=x+iy

z1+z2=(-2+x)+i*(5+y)

Der Imaginärteil muss gleich Null sein.

y=-5,   x beliebig.

Z.B. z2=3-5i

b) z1⋅z2 reell ist.

z2=x+iy

z1*z2=(-2+5i)*(x+iy)=-2x-5y+i*(5x-2y)

Der Imaginärteil muss gleich Null sein.

5x-2y=0

Z.B. x=2, y=5 → z2=2+5i

c) z1+z2 und z1⋅z2 reell sind.

Beide Bedingungen aus a) und b) müssen erfüllt sein.

Also y=-5 und 5x-2y=0 → x=-2

z2=-2-5i

:-)

Answer 2

Zu c) Sei z₂=a+bi. Dann soll sowohl (-2+5i)·(a+bi) als auch (-2+5i)+(a+bi) reell sein.

Das bedeutet, die Imaginärteile müssen gleich 0 sein, also

5a-2b=0 und b+5=0

Daher b=-5 und a=-2.

z₂=-2-5i.

Answer 3

Sei z2 = a + b·i

Dann gilt

a) (-2 + 5·i) + (a + b·i) ist reel → b = -5·i

b) (-2 + 5·i)·(a + b·i) ist reel --> - 2·b·i + 5·a·i = 0 --> a = 0.4·b

c) b = -5·i und a = 0.4·(-5·i) = -2·i

Answer 4

Hallo

Immer gilt z+zquer= reell

aber hier kannst du zu z1 jedes z mit z2=r-5i addieren.

bei z1*z2 kannst du einfach z1*(x+iy) rechnen und den Imaginärteil =0 setzen, hier also 5x=2y

bei c) dann y=-5 und x entsprechend

lul