Reelle Zahl versus Komplexe Zahl als Ergebnis der Wurzel

Question

p,q aus N

Wieso ist x = √p aus dem Zahlenbreich R

aber √p-q aus dem Zahlenbereich C (komplexe Zahlen)

?

Answer 1

Hi,

Ich glaube hier zeigt ein Beispiel mehr als tausend Worte:

x = √p:

p = 5

x = √5

--> Der Radikand ist immer positiv. Kein Problem das also reell anzugeben.


x = √(p-q):

p = 5

q = 10

x = √(5-10) = √(-5)


Das kann nun nicht mehr reell ausgedrückt werden. Wir brauchen die komplexen Zahlen.


Grüße

Comments

Super. :-)

Also im Prinzip sobald ich unter der Wurzel eine Zahl im negativen Bereich stehen habe, ist der gesamte Term aus den komplexen Zahlen, oder?

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So ist es

(wobei der ein oder andere das anders sehen mag. Oft wird die Wurzel so definiert, dass negative Zahlen (Radikand) nicht erlaubt sind. Komplexer Zahlenbereich hin oder her).

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Gerne ;)   .

Answer 2

Genau genommen ist

√ p - q

für p, q ∈ N ebenfalls reell ... weil dies so berechnet werden muss: √ ( p ) - q und √ ( p ) für p ∈ N reell ist.

Mir ist aber schon klar, dass du eigentlich:

√ ( p - q )

gemeint hast.

Und da kann es ja nun passieren, dass der Ausdruck

p - q

negativ wird, nämlich dann, wenn gilt: q > p

Dann aber hätte man eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen und dazu braucht man die komplexen Zahlen. Daher gilt für p, q ∈ N im Allgemeinen:

√ ( p - q ) ∈ C

während für p ∈ N im Allgemeinen gilt: 

√ p ∈ R

In Spezialfällen kann aber √ p sogar eine natürliche Zahl sein, nämlich dann, wenn p eine Quadratzahl ist.

Comments

Danke.

x,y aus R

Was ist wenn ich √(x^3 + y^4) habe? Wieso ist das aus dem komplexen Zahlen aber √((y-x)²) aus den reellen?

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Weil ( y - x ) ² ein Quadrat ist und als solches für alle x, y ∈R  immer positiv ist, während x ³ + y ⁴ auch negativ sein kann, nämlich dann, wenn x negativ und x ³ so klein ist, dass auch nach Addition von y ⁴ eine negative Summe verbleibt.