Komplexe Zahlen: Komplexen Lösungen für v^3=8 bestimmen.

Question

a) Ist v Element der komplexen Zahlen mit v^3=8, so gilt für u=-(6/v) dass u^3=-27

b) Bestimmen Sie die komplexen Lösungen für v^3=8. Geben Sie auch die Lösungen in  der Form a+bi a;b Element der reellen Zahlen an (ohne sin oder cos zu benutzen).

 Zumindest einen Lösungsansatz?

 

Comments

Zu b) Offensichtlich ist  v₁ = 2  eine reelle Lösung. Polynomdivision liefert
v³ = 8 ⇔ v³ - 8 = 0 ⇔ (v - 2)·(v² + 2v + 4) = 0. Wende die pq-Formel an.

---

Bei a) sollen wir es erläutern. Schonmal vielen Dank für eure Hilfreichen Antworten.

Answer 1

a) Ist v Element der komplexen Zahlen mit v³=8, so gilt für u=-(6/v) dass u³=-27

u = -(6/v)

u^3 = (-(6)/(v))^3 = - (6/v)^3 

= -6^3 / v^3      |v^3 einsetzen

= -6^3 / 8          |Potenzgesetze  

= - (2^3 * 3^3)/ 2^3           |kürzen

= - 3^3 = -27

Answer 2

(a+b*i)^3=8

Es gelten die handelsüblichen Regeln (Distributivgesetz, binomische Formeln), also

a³ + 3 a²b*i + 3 a(bi)² + (bi)³     Jetzt wird zsammengefasst: (bi)² = b²i² = -b², ...

= a³  +3a²b*i - 3ab²*i - b³*i   Sortieren nach Realteil und Imaginärteil

= a³  - 3ab² + 3a²b*i- b³*i

= a³  - 3ab² + ( 3a²b- b³)*i  = 8 + 0 * i

Also gilt: Der Imaginärteil ist null: 3a²b- b³ = 0

und a³  - 3ab² = 8

(Nichlineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.)

1. Möglichkeit: b = 0, dann mus a = 3. Wurzel aus 8 sein (reelle Lösung)

2. Möglichkeit: b ungleich 0: 3a²b- b³ = 0 => 3a² - b² = 0, also b = Wurzel aus 3 mal a oder b = -Wurzel aus 3 mal a. Der Rest geht mit Substitution.

Wenn man sich mit der komplexen (Gaussschen) Zahlenebene auskennt, geht das alles leichter: Man kann kann jede koppleze Zahl als Punkt darin auffassen und sie durch Winkel und Betrag angeben. Nimmt man eine Zahl hoch drei, do verdreifacht sich der Winkel und der Betrag wird hoch drei genommen. Also folgt: Der Winkel, der zu v gehört, muss 120° oder 240° sein, der Betrag  IvI = 3.Wurzel aus 8.