Für welches u wird der Flächeninhalt (Umfang) des Rechtecks ABCD maximal?

Question

Ich komme gerade bei einer Aufgabe zum Thema Extremwertprobleme nicht weiter und hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann!

Aufgabe:

Die Punkte A (-u|0), B (u|0) mit 0 ≤ u ≤ 3 und die Punkte C und D des Graphen von f mit f (x) = - x²+9 bilden ein Rechteck (vgl. Figur). Für welches u wird der Flächeninhalt (Umfang) des Rechtecks ABCD maximal? Wie groß ist er?

Hier noch die Figur zu der Aufgabe:

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Answer 1

Hallo

B hat die Koordinaten (u,0) also C die Koordinate (u, -u^2+9) also das Rechteck die Seiten a=2u und  b=9-u^2

daraus 1. Die Fläche A(u)= a*b ausrechnen und dann das Max bestimmen

2. den Umfang U(u)= 2a+2b bestimmen und das max bestimmen.

Gruß lul

Answer 2

A(u)=2u*(-u^2+9) soll maximal werden.

A(u)=-2u^3+18u

A´(u)=-6u^2+18

-6u^2+18=0

u₁=\( \sqrt{3} \)    

u₂=-\( \sqrt{3} \) entfällt, da es keine negative Fläche gibt.

Maximale Fläche:...

Answer 3

1) A=a*b ist die Hauptgleichung (Hauptbedingung) → Fläche vom Rechteck

2) a=x ist die 1.te Nebengleichung (Nebenbedingung)

3) b=y=f(x)=-x²+9 ist die 2.te Nebengleichung (Nebenbedingung)

2) und 3) in 1)

A(x)=x*(-x²+9)

A(x)=-x³+9*x

nun haben wir eine Funktion der Form y=f(x)=... und müssen nun die Extrema bestimmen → Kurvendiskussion durchführen → ableiten

A´(x)=0=.... → Nullstelle ermitteln

A´´(x)=.... → prüfen ob ein Maximum oder Minimum

mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) Maximum xmax=umax=1,732.. und Amax=10,392..FE (Flächeneinheiten) → ist das halbe Rechteck

Den Rest schaffst du selber

~plot~-1*x^3+9*x;10,392;[[-5|5|-15|15]];x=1,73~plot~