Handelt es sich bei folgenden Aufgaben um Binomial- oder Normalverteilungen?

Question

Aufgabe:

Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussaagen Binomialverteilt, Normalverteilt oder gar nichts sind.

a) Der Anteil der Schwarzfahrer im örtlichen Nahverkehr einer Großstadt beträgt ca. 2%. Bei einer Stichprobe werden 580 Personen kontrolliert. Die Zufallsgröße A gibt die Anzahl der ermittelten Schwarufahrer an.

b) Im Regal einer Bäckerei liegen 150 Rosinenbrötchen. Die Zufallsgröße C gibt die Anzahl der Rosinenbrötchen an, die lediglich eine Rosine enthalten.

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich gesagt, dass wir es mit einer Binomialverteilung zutun haben, da wir ja nur die Möglichkeiten haben man fährt schwarz oder man hat bezahlt. Alle Aufgaben, die nur zwei Ausgänge haben, sind ja Binomialverteilt. Ich weiß allerdings nicht ob es damit gleichzeitig auch Normalverteilt ist. Bei b) habe ich gar keine Ahnung, da wir kaum Angaben haben.

Comments

Ich denke, Aussagen haben keine Verteilung. Zufallsvariablen haben eine.

Answer 1

Aloha :)

Beides sind Bernoulli-Experimente. In beiden Fällen gibt es genau 2 mögiche Ergebnisse für das Zufallsexperiment, die mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) bzw. \((1-p)\) eintreten, und die Zufallsvariablen können nur ganzzahlige Werte annehmen.

Da die Binomial-Verteilung bei einer großen Anzahl \(n\) von Wiederholungen oft sehr aufwändig zu berechnen ist, nähert man sie gerne durch eine Normalverteilung an. Dazu setzt man dann:$$\mu=n\cdot p\quad\text{und}\quad \sigma^2=n\cdot p\cdot(1-p)$$

Die Näherung ist dabei umso besser, je größer die Standardabweichung \(\sigma\) ist. Mindestens sollte aber \(\sigma\approx\pi\approx3\) sein.

Comments

Also ist eine Binomialverteilung gleichzeitig eine Normalverteilung für große n?

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Ja, eine Binomialverteilung mit \(\sigma>3\), also für große \(n\) kann durch eine Normalverteilung sehr gut beschrieben werden.

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Gibt es auch Normalverteilungen die keine Binomialverteilung sind?

Ich verstehe noch nicht so ganz wieso die Binomialverteilung aus A eine Normalverteilung ist.

Eine Normalverteilung muss doch stetig sein aber bei der Binomialverteilung hier werden doch nur ganze Werte betrachte und keine Dezimalzahlen (es gibt keine halben Schwarzfahrer), deshalb ist sie doch eigentlich nicht stetig? oder gilt dies weil man sie nur näherungsweise benutzt also nur grobe Werte betrachtet?

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Die Antwort auf

Also ist eine Binomialverteilung gleichzeitig eine Normalverteilung für große n?

ist in der vorliegenden Form

Ja, ...

falsch.

Stattdessen hätte es heißen müssen

"Nein, aber eine Binomialverteilung mit \(\sigma>3\), also für große \(n\) kann durch eine Normalverteilung sehr gut beschrieben werden."

Answer 2

Sowohl A als auch C sind Binomialverteilt, wenn man die Unabhängigkeit der Kontrollierten Personen und der Brötchen voraussetzt.

Comments

Aber sie sind nicht Normalverteilt?