Vektorraum Beweis führen

Question

kann mir evtl jemand bei der Formulierung der Beweise der folgenden Beispiele helfen?

1. Wir betrachten den Vektorraum aller Folgen. Liegt der Vektor (an) = (1, −1,1, −1, . . )
in der linearen Hülle von (bn) = (1,1,1,1,...) und (cn) = (−1,−1,−1,−1,...)?

2. Wir betrachten den Vektorraum aller Polynome. Liegt der Vektor f(x) =
3x² −4 in der linearen Hülle von p(x) = x² −1 und p(x) = x² +1?

Answer 1

1. Es gilt \(\alpha\cdot (b_n)_{n\in\mathbb{N}} + \beta\cdot (c_n)_{n\in\mathbb{N}} = (\alpha-\beta)\cdot(b_n)_{n\in\mathbb{N}}\neq (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) für alle \(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\).

2. Ist \(f(x)\) eine Linearkombination der zwei \(p(x)\), dann muss für jedes \(x\in\mathbb{C}\) gelten, dass

        \(f(x) = \alpha\cdot \text{erstes }p(x) + \beta\cdot\text{zweite }p(x)\)

ist, also

      \(3x^2-4 = \alpha\cdot (x^2-1) + \beta\cdot(x^2+1)\)

ist. ausmultiplizieren und zusammenfassen der rechten Seite liefert

      \(3x^2-4 = (\alpha+\beta)x^2 + (-\alpha + \beta)\).

Ein Koeffizientenvergleich ergibt

(1)        \(\alpha + \beta = 3\)

(2)        \(-\alpha + \beta = -4\).

\(f(x)\) ist genau dann eine Linearkombination der zwei \(p(x)\), wenn dieses LGS lösbar ist.