Wie könnte ich hier die Niveaulinien bestimmen?

Question

Aufgabe(y^2-x^2)e^x+y

Problem/Ansatz:

Niveaumenge bestimmen:

Wie könnte ich hier die Niveaulinien bestimmen? Wie könnte ich am besten die Funktion umstellen?

Answer 1

Hallo,

Wie könnte ich hier die Niveaulinien bestimmen?

Indem man die Funktion \(f(x,y)\) (ich nehme an, es soll eine solche sein!) auf einen konstanten Wert \(c\) setzt. Also$$f(x,y) = (y^2-x^2)\cdot e^x + y = c$$und die so entstande Kurve ist dann die Niveaulinie auf dem Level \(c\).

Wie könnte ich am besten die Funktion umstellen?

nach der Variablen \(x\) oder \(y\), die am wenigsten Ärger macht ;-) und da man mit dem Term \(x^2 e^x\) nicht froh wird - womöglich hilft da noch nicht mal die Lambert'sche W-Funktion - bleibt eben nur \(y\).$$\begin{aligned} y^2e^x + y - (x^2e^x+c)  &= 0 \\ y_{1,2} &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4e^x(x^2e^x+c)}}{2e^x}\end{aligned}$$Mit Desmos sieht das so aus:

\(c\) läuft hier im Interval \([-10;\,+10]\)