Question

Wie berechne ich Aufgaben mit Schnitt- und Vereinigungsmengen als Operator?

Ich studiere im ersten Semester Mathematik und belege aktuell eine Vorlesung zu den Elementen der Analysis. Wir bekommen jede Woche ein Übungsblatt mit Aufgaben, das auch wöchentlich abgegeben werden muss.

Ich war in der letzten Vorlesung nicht anwesend und bin sehr verwirrt von der aktuellen Übung, bzw. einer Aufgabe davon. Da ich bisher noch nicht wirklich Kontakte knüpfen konnte, dachte ich mir, mal in einem Forum nachzufragen :)

Aufgabe: Stimmt’s oder stimmt’s nicht?

Text erkannt:

f) \( \bigcap_{\ell=2}^{100} \bigcup_{k=2}^{\ell}\left[\frac{1}{k}, 1-\frac{1}{k}\right]=\emptyset \)

Ich habe leider keinen Ansatz, da ich nicht verstehe, welche Mengen hier geschnitten und vereinigt werden sollen. Kann mir jemand helfen?

Liebe Grüße,

Pascal

Answer 1

Grundsätzlich schrittweise und mit Beispielen arbeiten.

Sei \(I_k:=[\frac1k,1-\frac1k]\).

Zuerst berechne die innere Operation, also \(M_l:=\bigcup\limits_{k=2}^l I_k\). Rechne dazu die ersten \(M_l\) mal aus, also \(M_2=I_2, M_3=M_2\cup I_3, M_4=M_3\cup I_4\). Dann sollte Dir auffallen, wie man \(M_l\) direkt angeben kann.

Danach die äußere Operation, als \(\bigcap\limits_{l=2}^{100} M_l = M_2\cap M_3\cap...\cap M_{100}\).

Auch das wieder schrittweise.

Comments

Danke! So habe ich verstanden, was ich machen muss ^^

Answer 2

Hallo Pascal. Aller Anfang ist schwer. Grundsätzlich ist das auch erst einmal kein Problem, wenn man mal eine Vorlesung verpasst. Wenn es kein digitales Skript gibt, solltest du dir aber unverzüglich eine Mitschrift besorgen. Darüber hinaus sind Fachbücher hilfreich und auch die selbstständige Recherche im Internet kann sehr lehrreich sein. Es ist völlig normal, dass man anfangs sehr viel Zeit investieren muss (und auch sollte).

Zu deiner Aufgabe: Bei den Mengen \([\frac{1}{k}; 1-\frac{1}{k}]\) handelt es sich um Intervalle. Diese lassen sich wunderbar an einem Zahlenstrahl darstellen. Setze für \(k\) die verschiedenen Werte ein, damit du ein Gefühl dafür bekommst, was hier bei der Vereinigung bzw. dem Schnitt passiert. Für \(k=2\) haben wir bspw. das Intervall \([\frac{1}{2};\frac{1}{2}]=\{\frac{1}{2}\}\).

Ich hoffe, dass du mit diesen Hinweisen schon weiterkommst. Wenn du Schwierigkeiten hast, melde dich gerne nochmal!

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Vielen Dank, du hast mir weiter geholfen!