Impulsoperator, Lösungen Teil des L2 Raumes?

Question

Aufgabe: Untersuche, ob der Impulsoperator \( \hat{p}_{k} \) quadratintegrable Eigenfunktionen hat \( (k=1,2,3) \), d.h. ob die Gleichung
\( \hat{p}_{k} \phi=p_{k} \phi, \quad p_{k} \in \mathbb{R} \)
Lösungen \( \phi \in L^{2}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{C}\right) \) mit \( \phi \neq 0 \) besitzt.

Meine Idee wäre das Lösen der Eigenwertgleichung mit einem geeigneten Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen; und dann wäre zu untersuchen, ob die gefundene Lösung quadratintegrabel ist.

Mein Lösungsweg:

Das ist die Lösung der DGL:
\( \psi_{p_{x}}(x)=C \cdot e^{\frac{i}{\hbar} p_{k} \cdot x} \)

Wie komme ich davon jetzt zur Entscheidung, ob die Funktion quadratintegrabel ist bzw. ob die Gleichung oben Teil des L2 Raumes ist?

Answer 1

Hallo,

wenn \(p_k\) reell ist, dann ist \(|\psi|=1\), also ist \(\psi\) nicht quadratintegrabel.

Gruß Mathhilf

Comments

Vielen Dank! Und wie kommt man darauf? Hast du die Stammfunktion gebildet und dann den Grenzwert bestimmt oder wie kommst du darauf?

---

Hallo,

zunächst: Ich habe das C übersehen: Es ist \(|\psi(x)|\)=|C|. Dies ist einfach eine Standard-Eigenschaft der exp-Funktion. Wenn Dir das nicht bekannt ist, benutze die Eulerformel um Real- und Imaginärteil zu bestimmen und berechne daraus den Betrag.

Dass eine konstante Funktion (außer der Null-funktion) nicht über den ganze Raum integrierbar ist, ist doch selbstverständlich.

Gruß Mathhilf

---

Okay, ich verstehe, vielen Dank!