Produkt zweier Zahlen am Glücksrad: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis durch 4 teilbar ist?

Question

Ein Glücksrad ist in einhundert gleich große Sektoren eingeteilt, die mit den Zahlen von 1 bis 100 beschriftet sind. Es wird zweimal gedreht und die beiden gedrehten Zahlen werden miteinander multipliziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das so gebildete Ergebnis durch 4 teilbar ist?

Comments

Die Aufgabe ist eine aus dem Gedächtnis wiedergegebene und daher leicht abgewandelte Aufgabe aus einem Schulbuch der 6. Klasse einer Realschule. In diesem Buch wird am Anfang Teilbarkeitslehre behandelt und später dann Wahrscheinlichkeitsrechnung. In dieser Aufgabe wird beides verknüpft.

Answer 1

Vereinfache das Problem. Nimm nur ein Glucksrad mit den Zahlen von 1-4.

Warum gibt dieses die gleiche Wahrscheinlichkeit?

Comments

Hallo. Sehr schön. Diese Idee in etwas anderer Form hatte ich auch:

Wir betrachten in Gedanken die 100×100-Multiplikationtafel und ersetzen darin die 10.000 Produkte jeweils durch ihrer Reste bei der Division durch 4. Die so erzeugte Restetafel erweist sich dann als aus lauter identischen 4×4-Restekacheln bestehend, von denen natürlich nur eine benötigt wird.

Wir wählen die erste und notieren den Übergang
Produktkachel → 4er-Restekachel: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{pmatrix} \underrightarrow{\mod 4\quad} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Der Anteil der Nullen in der Restekachel liefert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Answer 2

	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	6	8
3	3	6	9	12
4	4	8	12	16

	1	2	3	4
5	5	10	15	20
6	6	12	18	24
7	7	14	21	28
8	8	16	24	32

Es spricht einiges dafür, dass die Wahrscheinlichkeit 0,5 beträgt.

Ich hatte in meinem ersten Lösungsversuch die Möglichkeit übersehen, dass die Faktoren gerade, aber nicht durch 4 teilbar sind.

:-)

Comments

Ja, die Aufgabenstellung verleitet zunächst zu eher aufwändigeren und daher fehlerlastigeren Ansätzen und Rechnungen.

Answer 3

Ein Produkt aus zwei natürlichen Zahlen ist in folgenden (disjunkten) Fällen durch 4 teilbar:

-Beide Faktoren sind gerade.

-Einer der Faktoren ist ungerade, der andere durch 4 teilbar. Auch mit den Zahlen 1 bis 100 (also ohne Beschränkung auf die Zahlen 1 bis 4) hat der erste Fall die Wahrscheinlichkeit 0,5*0,5=0,25, und der zweite Fall hat die Wahrscheinlichkeit 2*0,5*0,25.

Comments

Sehr schön. Dazu lässt sich auch ein reduziertes Baumdiagramm aufstellen, was ich auch versucht habe. Deine Überlegung (mit dem wichtigen Hinweis "disjunkt") ist aber auch ohne dieses gut nachvollziehbar.