Wahrscheinlichkeit am Glücksrad genau einmal "rot" zu drehen auf 95% | Stochastik

Question

Erstmal die Aufgabenstellung:

Ein Glücksrad hat 5 gleich große Sektoren, von denen 3 weiß und 2 rot sind.

Wie oft muss das Rad mindestens gedreht werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Rot zu drehen, wenigstens 95% beträgt?

P("weiß")=3/5 P("rot")=2/5

Lösung 1 (Aus dem Unterricht)

P("rot mit 95%")=1-P("nicht rot")

=1-3/5^n=0,95 => n=log(0,05)/log(3/5)=5,864

Meine Überlegung:

Warum berechnen wir n über das Gegenereignis und nicht einfach über das eigentliche Ereignis, also;

2/5^n=0,95 => n=0,05...

Das kommt nicht wirklich hin. Kann mich jemand aufklären, warum das nicht geht?

!

Answer 1

Du meinst (2/5)^n = 0.95 ?

(2/5)^n = 2/5 * 2/5 * 2/5 ......

Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass n Mal nacheinander rot kommt. Das wird immer unwahrscheinlicher, je grösser n wird.

EDIT: Wahrscheinlichkeit hat viele h. Ich habe in deiner Frage einige fehlende eingefügt.

Comments

Mit dem ersten Lösungsweg muss ich n mit 6 wählen und das ist auch die richtige Lösung, warum klappt das nicht, wenn ich nicht die Gegenwahrscheinlichkeit benutze, also 2/5^n anstatt 1-3/5^n, rechnerisch erkenne ich den unterschied, aber von der logik her nicht.

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Das habe ich dir oben schon beschrieben.

Kürzer:

"Immer rot" ist nicht dasselbe wie "einmal rot" und sonst irgendwas.

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Ups, Entschuldigung für die Rechtschreibung. o.o

Okay, das heißt mit meine Rechnung würde ich die Wahrscheinlichkeit für "immer rot" erhalten, aber warum steht

1-3/5^n für genau einmal rot? Ich versuche es mir gerade vorzustellen, aber hab noch nicht ganz Licht ins Dunkle gebracht.

Mir fällt nur auf, dass je höher ich "n" wähle, die Wahrscheinlichkeit für das eintreten von "Weiß" sinkt.

Wenn ich mir das ganze als Baumdiagramm vorstelle, ist mir das einfach nicht ersichtlich. :(

Danke jetzt schon mal für deine Bemühungen, Leute wie dich retten mein Abitur!

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Kann es leider nicht mehr editieren, aber noch ein Nachtrag:

Ist es so, dass ich mit 1-3/5^n = 0,95 ausrechnen kann, wann die Wahrscheinlichkeit NUR weiß zu ziehen auf 5% sinkt und damit man dann sagen kann, dass mit 95%iger Wahrscheinlichkeit irgendwo darin "rot" vorkommt?

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1. Schreibe Klammern um einen Bruch, wenn der ganze Bruch hoch n gerechnet werden soll:

1-(3/5)ⁿ steht für mindestens einmal rot? 

Grund (3/5)^n ist 'immer weiss'.

Das Gegenereignis davon ist "1 mal rot und Rest weiss" oder "2 mal rot und Rest weiss" oder "3 mal rot und Rest weiss" ...... bis "n mal rot" . Alle diese Wahrscheinlichkeiten zusammen Plus die Wahrscheinlichkeit für "immer weiss" gibt dann das sichere Ereignis S. P(S) = 1 also 

P(mindestens 1 mal rot) = 1 -(3/5)^n . Direkt. 

Man muss für die mindestens einmal nicht als Summe berechnen (Aufwand viel zu gross). 

Für "genau 1 mal rot", "genau 2 mal rot" usw. kannst du die Binomialverteilung benutzen. 

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Ist es so, dass ich mit 1-(3/5)ⁿ = 0,95 ausrechnen kann, wann die Wahrscheinlichkeit NUR weiß zu ziehen auf 5% sinkt und damit man dann sagen kann, dass mit 95%iger Wahrscheinlichkeit irgendwo darin "rot" vorkommt?

Ich forme mal um

1-(3/5)ⁿ = 0,95   |-0.95 + (3/5)^n

0.05 = (3/5)^n

Ja. Das kannst du nun so sagen.

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Moment.

P(mindestens 1 mal rot) = (1 -(3/5))ⁿ . Direkt. 

Müsste die äußere Klammer nicht weg?Ansonsten kommt man nicht auf 6.

Danke, ich verstehe es jetzt soweit.

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Richtig dort hatte ich im Kommentar eine Klammer zu viel. Wird entfernt.