Berechnen Sie die ersten vier Koeffizienten einer Potenzreihenentwicklung des Integrals:

Question

Aufgabe:

Ich habe hier eine Aufgabe zum Thema Potenzreichenentwicklung bei Integralen. Könnte mir hier jemand sagen, wie man auf die Lösung der Aufgabe kommt?

Berechnen Sie die ersten vier Koeffizienten einer Potenzreihenentwicklung des Integrals:

\( f(x)=\int \limits_{0}^{x}\left(\frac{e^{4 t}}{t}-\frac{\cos 7 t}{t}\right) d t \)
Hinweis: Entwickeln Sie die Terme im Zähler und fassen Sie die Terme zusammen.

\( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} C_{n} x^{n}=C_{0}+C_{1} x+C_{2} x^{2}+\ldots= \)

Hier die Lösung:

\( 4 \cdot x+\left(4^{\wedge} 2\right) / 4+7^{\wedge} 2 / 4 \cdot x^{2}+\left(4^{\wedge} 3\right) / 18 \cdot x^{3}+(-2145 / 96) \)
\( \cdot x^{4}+C \)

Answer 1

hallo

für Taylor brauchst du f(0) und dann f'(0) usw. aber f' ist ja gerade der Integrand(x) . dabei sollst du erst den Zähler entwickeln, dann durch x teilen.

Gruß lul

Comments

Ich habe es versucht. Aber irgendwie steig ich da nicht durch ...

\( F(x)=\sum \frac{F^{k}\left(x_{0}\right)}{k !} \cdot x^{k} \)
\( \begin{array}{ll}f(x)=e^{4 t}-\cos 7 t & c_{0}=0 / 0 !=0 \\ f^{\prime}(x)=7 \sin (7 t)+4 e^{4 t} & c_{1}=4 / 1 !=4 \\ f^{\prime \prime}(x)=49 \cos (7 t)+16 e^{4 t} & c_{2}=49+16=65 / 2:=32,5 \\ f^{\prime \prime \prime}(x)=64 e^{4t}-343 \sin (7

t) & c_{3}=64 / 3 !=10, \overline{6}\end{array} \)

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Hier nochmal das Bild dazu.

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Hallo

f(x) ist doch das Integral? also f(0)=0   jetzt den Integranden  entwickeln aber das ist ja f'(x) nicht f(x)

Gruß lul

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Text erkannt:

\( \begin{array}{ll}J(x)=\int \limits_{0}^{x}\left(\frac{e^{4 t}}{t}-\frac{\cos 7 t}{t}\right) d t & J(0)=0 \\ J^{\prime}(x)=4 e^{4 t}+7 \sin (7 t) & J(0)=4 \\ J^{\prime \prime}(x)=16 e^{4 t}+49 \cos (7 t) & J(0)=65 \text { statt } \frac{65}{4} \\ J^{\prime \prime}(x)=64 e^{4 t}-343 \sin (7 t) & J(0)=64 \text { statt } \frac{64}{18} \\ J^{\prime \prime \prime}(x)=256 e^{4 t}-2401 \cos (7 t) & J(0)=-2145 \text { statt }-\frac{2145}{96}\end{array} \)

Ich habe es jetzt so probiert. Aber ich weiß nicht so richtig, wie ich auf die roten Zahlen kommen soll.

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hallo

sieh die Taylorformel nach ! da sind ja nicht nur die Ableitungen, sondern auch noch Faktoren !

ausserdem dann noch das 1/x!

ich dachte eigentlich ihr solltet di bekannten Reihen für e^x und cos (x) benutzen?

lul

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Ich weiß leider nicht, ob und wie man hierfür die Reihen von cos und e nutzen kann, um die Aufgabe zu lösen. Ich habe die Reihen einfach rausgeschrieben.

Wenn ich in der zweiten Ableitung K! nehme, also 2! komme ich auf 65/2 was immer noch nicht 65/4 sind.

Wenn ich versuche die 1/x mit hineinzunehmen, wird ja dann alles Null. Also ich weiß halt auch nicht, wie ich das im Nachhinein hinzufügen soll.

Text erkannt:

Taylortibe:
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{u}\left(x_{0}\right)}{k !}\left(x-x_{0}\right)^{k} \)

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Jetzt habe ich es glaube ich doch noch hinbekommen, siehe Bleistiftergänzung ....