Zeige, dass diese zwei Matrizen zueinander kongruent sind

Question

Aufgabe:

a, b ∈ K mit a + b ≠ 0. Beweisen Sie, dass die Matrizen zueinander kongruent sind.

B= \( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \)

B'= \( \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & ab(a+b) \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Also damit diese Mat. zueinander kongruent sein können, muss folgendes gelten: B'= S*B*S^t

Jedoch weiß ich jetzt nicht wie ich weiter machen soll.. Soll ich von B die eigenvektoren bestimmen um auf S zu kommen?

Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Warum machst du nicht einfach den Ansatz, dass S eine Matrix der Form \( \begin{pmatrix} c & d \\ e & f \end{pmatrix} \) ist (und S^T demzufolge die Form \( \begin{pmatrix} c & e \\ d & f \end{pmatrix} \) hat)?

Berechne mit diesem Ansatz S*B*S^T und mache einen Koeffizientenvergleich mit B'.

Comments

Hallo Abakus,

Wenn ich das ausrechne, komme ich auf dieses Ergebnis: \( \begin{pmatrix} ac^2+bd^2 & ace+bdf \\ ace+bdf & ae^2+bf^2 \end{pmatrix} \)

Man kann sehen, dass ace+bdf sowohl in der ersten Zeile als auch in der zweiten Zeile vorkommen, also : ace+bdf= 0

Jetzt weiß ich leider nicht wie ich das weiter begründen soll..