Wie groß ist das Längenverhältnis \frac{|\vec{EH}|}{|CH|}?

Question

ABC sei ein gleichseitiges Dreieck, H die Mitte von AB und M die Mitte von BC.

E auf HC sei der Eckpunkt eines Dreiecks MDE, das zu ABC kongruent ist. Wie groß ist das Längenverhältnis \( \frac{|\vec{EH}|}{|\vec{CH}|} \)?

Comments

Gesucht ist EH/CH=x>0

CH=½a√3

EH=x•½a√3

F halbiere HC. s = FE = EH - ¼a√3 = (½x - ¼)a√3

∆EFM:

(a/4)²+s²=a²

(a/4)²+( (½x - ¼)a√3 )²=a²

(¼)² +  (½x - ¼)² •3 =1

(½x - ¼)² =5/16

(2x -1)² = 5

--> x=½(1+√5)

--> Goldener Schnitt

:-)

Answer 1

Grundlegend überarbeitet:

\(\overline{ME}=\overline{AB}\)

\(\overline{HC}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot \overline{AB}\)

Koordinaten von C:

\( \frac{y-0}{x+2}=\tan(60°) =\sqrt{3}\)

\( y=\sqrt{3}(x+2)\)      An der Stelle \(x=0\):

\( y=2\sqrt{3}\)

C:\((0|2\sqrt{3})\)

Koordinaten von M: \((1|\sqrt{3})\)

Koordinaten von E:

Kreis um M: \((1|\sqrt{3})\) mit \(r=4\):

\((x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=16\)   An der Stelle \(x=0\):

\(1+(y-\sqrt{3})^2=16\)

\((y-\sqrt{3})^2=15|±\sqrt{~~}\)

\(y-\sqrt{3}=\sqrt{15}\)

\(y=\sqrt{3}+\sqrt{15}\) Nötig ist nur der positive Wert.

Koordinaten von E:\((0|\sqrt{3}+\sqrt{15})\)

\(\overline{EH}=\sqrt{3}+\sqrt{15}\)

\(\overline{CH}=2\sqrt{3}\)

\( \frac{\overline{EH}}{\overline{CH}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2\sqrt{3}} \)

Comments

Du scheinst Rs Lieblingszahl nicht zu kennen.

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\(\overline{CD}\neq \frac{1}{2}\overline{AB}\).

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\(\overline{CM}\ne\overline{CE}\)

\(\overline{CE}\ne\frac{1}{2}\overline{AB}\)

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Wahrscheinlich hat er ein Gegenbeispiel zur Dreiecksungleichung gefunden.

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Nach der jetzigen Korrektur willst Du uns immerhin nicht mehr ein D für ein H und ein F und ein D vormachen :)

\(\displaystyle \frac{\overline{EH}}{\overline{CH}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2 \sqrt{3}} \)

Kürzen ist eine Tugend, wenn es nicht mit der Guillotine geschieht.

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\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2 \sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)

Answer 2

Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks sei a.

Im Dreieck MEC hat der Winkel MCE eine Größe von 150°.

Nach dem Kosinussatz gilt cos 150°=\( \frac{(a/2)^2+|CE|^2-a^2}{a\cdot |CE|} \), also

\(-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{(a/2)^2+|CE|^2-a^2}{a\cdot |CE|} \)

\(-\frac{\sqrt{3}a\cdot |CE|}{2}=|CE|^2-0,75a^2 \)

\(0=|CE|^2+\frac{\sqrt{3}a\cdot |CE|}{2}-0,75a^2 \)

\(|CE|=-\sqrt{3}\cdot a\pm \sqrt{3a^2+0,75a^2}\).

Die negative Lösung entfällt.

Mit dem Rest kann man noch ein wenig spielen...

Answer 3

Wenn H im Ursprung liegt und B bei (1/2│0) dann ist C bei (0│\( \sqrt{3/4}\)) und M bei (1/4│\( \sqrt{3}/4 \)).

\(\displaystyle │EH│= \sqrt{3}/4 + \sqrt{1-(1/4)^2}= \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (1+\sqrt{5})\)

\(\displaystyle \frac{\mid EH\mid }{\mid CH\mid }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)