Einbeschriebener Kreis: Wie groß ist das Verhältnis der grünen Fläche zur gelben Restfläche?

Question

Aufgabe:

Einem Kreis \( k_{a} \) um Mittelpunkt \( M_{a} \) wir ein Kreis \( k_{i} \) um Mittelpunkt \( M_{i} \) so einbeschrieben, dass er \( k_{a} \) von innen und eine Sehne mit der Länge \( 8 \mathrm{cm} \) in der Mitte berührt, wobei sich über der Sehne ein \( 120^{\circ} \)-Bogen spannt. Wie groß ist das Verhältnis der grünen Fläche von \( k_{i} \) zur gelben Restfläche von \( k_{a} ? \)

Answer 1

Den Radius des  großen Kreises wähle ich als Längenheit. Dann ist der große Kreis ein Einheitskreis. MBR ist ein halbes gleichseitiges Dreieck. Dann ist MB=1/2 und der kleine Kreis hat den Radus 3/4.

\( \frac{(3/4)^2·π}{π} \) =\( \frac{9}{16} \). Das Flächenverhältnis der Kreise ist 9:16.

Answer 2

R^2 + R^2 - 2·R^2·COS(120°) = 8^2 --> R = 8/3·√3

x^2 + 4^2 = R^2 --> x = 4/3·√3

r = (R + x)/2 = 2·√3

p = pi·r^2/(pi·R^2 - pi·r^2) = 9/7