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Der gegebene Körper \(K\) ist in Zylinderkoordinaten beschrieben:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad z\in[1;\infty)\quad;\quad r=\frac{1}{z}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Zur Berechnung seiner Oberfläche in Abhängigkeit der beiden Freiheitsgrade \(z\) und \(\varphi\) benötigen wir zuerst das Flächenelement:$$\frac{df}{d\varphi\,dz}=\left\|\frac{\partial\vec r}{\partial \varphi}\times\frac{\partial\vec r}{\partial z}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\right\|=r$$Also ist \(df=r\,d\varphi\,dz\) und die Oberfläche beträgt:$$F=\iint\limits_Kdf=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{z=1}^\infty r\,dz\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{z=1}^\infty \frac{1}{z}\,dz\,d\varphi=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\,\int\limits_{1}^\infty \frac{1}{z}\,dz=2\pi\cdot\left[\ln(z)\right]_1^\infty\;\to\;\infty$$Die Oberfläche ist unendlich groß, weil \(\lim\limits_{z\to\infty}\ln(z)=\infty\) ist.
Zum Abtasten des Volumens, müssen wir mittels \(r\in\left[0;\frac1z\right]\) auch das Innere des Körpers \(K\) abtasten. Das Volumenelelemt in Zylinderkoordinaten ist:$$\frac{dV}{dr\,d\varphi\,dz}=\left|\operatorname{det}\begin{pmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi & 0\\\sin\varphi & r\cos\varphi & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right|=\left|r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\right|=r$$Also ist \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\) und das Volumen des Körpers \(K\) lautet:
$$V=\iiint\limits_KdV=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{z=1}^\infty\,\int\limits_{r=0}^{1/z}r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{z=1}^\infty\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{1/z}\,d\varphi\,dz=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{z=1}^\infty\frac{1}{2z^2}\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{V}=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{1}^\infty\frac{1}{2z^2}\,dz=2\pi\cdot\left[-\frac{1}{2z}\right]_1^\infty=2\pi\left(-0+\frac12\right)=\pi<\infty$$
Der Körper \(K\) hat also eine unendlich große Oberfläche, aber ein endliches Volumen. Oder andes gesagt, man kann den Körper vollständig mit Farbe füllen, aber nie vollständig mit Farbe anmalen.
