Wieso nimmt man für den Definitionsbereich folgendes:?

Question

Text erkannt:

\( \begin{array}{ll}\text { Aufgabe 1: } & 15 \text { Punkte }\end{array} \)
a) Geben Sie jeweils den Definitionsbereich und die reelle Lösungsmenge der folgenden Gleichung und Ungleichung an.
(a.1) \( \quad \frac{3}{2 x-4} \leq 2 \)
(a.2) \( \quad x+\sqrt{x^{2}-25}=25 \)

Text erkannt:

a.2) Definitionsbereich: \( x^{2}-25 \geq 0 \Rightarrow x^{2} \geq 25 \Rightarrow x \geq 5 \) oder \( x \leq-5 \) \( \mathbb{D}=(-\infty ;-5] \cup[5 ; \infty) \)

Wieso nimmt man für den Definitionsbereich "nur" :

Text erkannt:

\( x^{2}-25 \geq 0 \)

oder bei der a1)

Text erkannt:

1. Fall: \( 2 x-4>0 \Rightarrow x>2 \)
2. Fall: \( 2 x-4<0 \Rightarrow x<2 \)

von der Funktion?

Wieso nicht den ganzen Term?

Comments

zu a1

Der Nenner darf nicht gleich Null sein.

zu a2

Für den Definitionsbereich ist der Term unter der Wurzel entscheidend, der nicht negativ sein darf.

:-)

Answer 1

Aloha :)

$$\left.\frac{3}{2x-4}\le2\quad\right|-2$$$$\left.\frac{3}{2x-4}-2\le0\quad\right|\text{Hauptnenner bilden}$$$$\left.\frac{3}{2x-4}-\frac{4x-8}{2x-4}\le0\quad\right|\text{Brüche subtrahieren}$$$$\left.\frac{11-4x}{2x-4}\le0\quad\right.$$Ein Bruch ist genau dann negativ, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben:

1. Fall: Zähler positiv, Nenner negativ:$$11-4x\ge0\;\land\;2x-4<0\implies11\ge4x\;\land\;2x<4\implies x\le\frac{11}{4}\;\land\;x<2\implies x<2$$2. Fall: Zähler negativ, Nenner postiv:$$11-4x\le0\;\land\;2x-4>0\implies11\le4x\;\land\;2x>4\implies x\ge\frac{11}{4}\;\land\;x>2\implies x\ge\frac{11}{4}$$

Die Lösungsmenge ist daher:$$\mathbb L=\left\{x\in\mathbb R\,\big|\,x<2\;\lor x\ge\frac{11}{4}\right\}$$

~plot~ 3/(2x-4) ; 2 ~plot~

$$\left.x+\sqrt{x^2-25}=25\quad\right|-x$$$$\left.\sqrt{x^2-25}=25-x\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\left.x^2-25=(25-x)^2\quad\right|\text{binomische Formel}$$$$\left.x^2-25=25^2-50x+x^2\quad\right|-x^2\;\big|\,+50x$$$$\left.50x-25=25^2\quad\right|+25$$$$\left.50x=25^2+25\quad\right|\div50$$$$x=\frac{25^2+25}{50}=\frac{650}{50}=13$$Die Lösungsmenge ist hier also:\(\quad\mathbb L=\{13\}\)

Answer 2

a) D = R \{2}

1. x>2

3/(2x-4)<=2

3<=4x-8

x>= 11/4

L = x>=11/4

2. x<2

3/(2x-4)<=2

3 >= 2(2x-4)

3 >= 4x-8

x <= 5/4

L = x<2

...

Comments

Wie kommt man denn von

3 >= 4x-8

auf

x <= 5/4

?

Answer 3

3 / ( 2x - 4) ≤ 2
Division durch null vermeiden
x ≠ 2

Fallunterscheidung
1.)  2x - 4 > 0
2x > 4
x > 2
dafür gilt
2x - 4 ist positiv
3 ≤ ( 2x - 4) * 2
3 ≤ 4x - 8)
11 ≤ 4x
11/4 ≤ x
x ≥ 11 / 4

Falls du Fragen hast dann bitte melden.