Zeigen, dass zwei stetige Funktionen gleich sind? Voraussetzung f(x) = g(x) für alle x Elemente IQ

Question

Seien f,g (stetig) : IR → IR und f(x) = g(x) für alle x Elemente IQ

Zeige: f(x) = g(x) für alle x Elemente IR

Analog: f(x) = g(x) für alle x mit 0 < (x-a) < δ ⇒ f(a) = g(a)

Kann mir jemand helfen zu zeigen, dass zwei stetige Funktionen gleich sind? Bin über jeden Ansatz dankbar!

Comments

Kammen irgendwelche Sätze zur eindeutigen Fortsetzbarkeit kürzlich in der Vorlesung vor?

---

 

Also es gibt sogar eine lösung davon nur versteh ich  die lösung nicht ganz , außerdem sollen wir dazu nicht die lösungen benutzen, also es selber erklären können :)

---

Vom Duplikat:

Titel: Stetige Funktionen von R nach R. Zu zeigen, es gelte f(r) = g(r) fur jedes r ∈ Q. Dann ist f = g.

Stichworte: funktion,stetig,rational,reell

kann jemand mir helfen ?

Seien f, g : R → R stetige Funktionen.

Zu zeigen, es gelte f(r) = g(r) für jedes  r ∈ Q. Dann ist f = g.

---

Kannst du im Prinzip gleich machen wie hier: https://www.mathelounge.de/396571/sei-i-ein-intervall-f-g-i-r-stetig-beweise-f-x-g-x-fuer-alle-x-in-i

Answer 1

Sei x∈ℝ\ℚ. Bekanntlich existiert eine Folge {a_n}_n>0 mit  a_k∈ℚ  für alle  k∈ℕ  und  lim_n→∞a_n = x.
Da  f  und  g  stetig sind, gilt
f(x) = f(lim_n→∞a_n) = lim_n→∞f(a_n) = lim_n→∞g(a_n) = g(lim_n→∞a_n) = g(x).
Also ist  f(x) = g(x)  für alle x∈ℝ.

Answer 2

Für jedes x∈ℝ gibt es eine Folge (x_n)_n∈ℕ , mit x_n ∈ℚ, die gegen x konvergiert,

weil die Menge Q dicht in ℝ ist.

Für alle Folgenglieder gilt aber  f(x_n) = g(x_n) , wegen der Stetigkeit (Folgenkriterium)

 gilt also auch  f(x) = g(x).