4. Die Differentialgleichung des physikalischen Pendels ist
\( y^{\prime \prime}=-\sin (y), \quad(x, y) \in U:=\mathbb{R}^{2} \)
Es sei \( \psi:]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}[\rightarrow \mathbb{R} \) die Lösung der zugehörigen Anfangswertaufgabe mit Anfangsbedingung \( y(0)=0 \) und \( y^{\prime}(0)=1 \)
(a) (2P) Schreiben Sie diese Differentialgleichung als System \( Y^{\prime}=f(x, Y) \) erster Ordnung.
(b) (5P) Zeigen Sie, dass durch \( \Phi:]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\left[\rightarrow \mathbb{R}, \Phi(x)=\left(\begin{array}{c}\sin x \\ \cos x\end{array}\right)\right. \), eine Nähe-
rungslösung der Differentialgleichung aus (a) zur Näherung \( \epsilon=\frac{1}{48} \) gegeben wird. Der \( \mathbb{R}^{2} \) sei dabei mit der Maximumsnorm versehen.
(c) (7P) Geben Sie nun konkrete Funktionen \( a \) und \( b \) an, so dass \( a(x) \leq \psi(x) \leq \) \( b(x) \) für alle \( x \) mit \( 0 \leq x<\frac{1}{2} \) und \( b\left(\frac{1}{2}\right)-a\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{20} \).
Hinweis: Verwenden Sie den Satz über die Parameterabhängigkeit der Lösung.
